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高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第5讲二次函数与幂函数知能训练轻松闯关文北师大版
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第5讲二次函数与幂函数知能训练轻松闯关文北师大版
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第5讲二次函数与幂函数1.(2022·蚌埠一模)设a>0,且a≠1,则“函数f(x)=ax在R上是增函数”是“函数g(x)=xa在R上是增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选D.由函数f(x)=ax在R上是增函数知,a>1;当a=时,g(x)的定义域为[0,+∞),不能满足g(x)=xa在R上是增函数;而当a=时,g(x)=x在R上是增函数,此时f(x)=在R上是减函数,故选D.2.二次函数y=-x2+4x+t图像的顶点在x轴上,则t的值是( )A.-4 B.4C.-2D.2解析:选A.二次函数图像的顶点在x轴上,所以Δ=42-4×(-1)×t=0,解得t=-4.3.若函数f(x)=x2+ax+b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)( )A.在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增B.在(-∞,3)上递增C.在[1,3]上递增D.单调性不能确定解析:选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以f(x)在(-∞,2]上是递减的,在[2,+∞)上是递增的.4.已知x=lnπ,y=log52,z=e-,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x解析:选D.幂函数y=x在(0,+∞)上为增函数,且2<e<3,所以<<,所以<z<,即<z<1.又y=log52<log5=,x=lnπ>lne=1,故y<z<x.5.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( )A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞)解析:选C.由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图像的对称轴为x==2,又函数f(x)在[0,2]上是递增的,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4,故选C.6.(2022·西安八校联考)已知0<m<n<1,且1<a<b,则下列各式一定成立的是( )A.bm>anB.bm<anC.mb>naD.mb<na解析:选D.令f(x)=xa,因为a>1,所以f(x)在(0,+∞)上是递增的,因为0<m<n<1,所以ma<na;令g(x)=mx,因为0<m<1,所以g(x)在R上是递减的.因为1<a<b,所以ma>mb,所以mb<ma<na,所以mb<na,故选D.3\n7.已知二次函数的图像过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为________.解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2-1,又其图像过点(0,1),所以4a-1=1,所以a=.所以f(x)=(x-2)2-1.答案:f(x)=(x-2)2-18.(2022·南昌调研)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________. 解析:由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1.答案:-1或39.已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数,且f(3)<f(5),则m=________.解析:因为f(x)是偶函数,所以-2m2+m+3应为偶数.又f(3)<f(5),即3-2m2+m+3<5-2m2+m+3,整理得<1,所以-2m2+m+3>0,解得-1<m<.又m∈Z,所以m=0或1.当m=0时,-2m2+m+3=3为奇数(舍去);当m=1时,-2m2+m+3=2为偶数.故m的值为1.答案:110.(2022·北京丰台区统一练习)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是________. 解析:函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,可转化为函数y=f(x)与函数y=m的图像有四个交点,作出函数y=f(x)的图像,如图所示,可知当m∈(-1,0)时满足要求.答案:(-1,0)11.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],所以当x=1时,f(x)取得最小值1;当x=-5时,f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图像的对称轴为直线x=-a,因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).3\n1.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若a=c,则函数f(x)的图像不可能是( )解析:选D.由四个选项知,图像与x轴均有交点,记两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2,由于a=c,所以x1x2==1,比较四个选项,可知选项D的x1<-1,x2<-1,所以D不满足.2.是否存在实数a,使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1,1]时,值域为[-2,2]?若存在,求a的值;若不存在,说明理由.解:f(x)=(x-a)2+a-a2.当a<-1时,f(x)在[-1,1]上为增函数,所以⇒a=-1(舍去);当-1≤a≤0时,⇒a=-1;当0<a≤1时,⇒a不存在;当a>1时,f(x)在[-1,1]上为减函数,所以⇒a不存在.综上可得,a=-1.所以存在实数a=-1满足题设条件.3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.所以F(x)=所以F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)由题意知f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又当x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2.所以-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].3
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:56:56
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