高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第5讲二次函数与幂函数知能训练轻松闯关理北师大版

第5讲二次函数与幂函数1．(2022·蚌埠一模)设a>0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是增函数”是“函数g(x)＝xa在R上是增函数”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.由函数f(x)＝ax在R上是增函数知，a>1；当a＝时，g(x)的定义域为[0，＋∞)，不能满足g(x)＝xa在R上是增函数；而当a＝时，g(x)＝x在R上是增函数，此时f(x)＝在R上是减函数，故选D.2．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是(　　)A．－4　　　　　　　　　B．4C．－2D．2解析：选A.二次函数图像的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.3．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)(　　)A．在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B．在(－∞，3)上递增C．在[1，3]上递增D．单调性不能确定解析：选A.由已知可得该函数的图像的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．4．已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，则(　　)A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x解析：选D.幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，且2<e<3，所以<<，所以<z<，即<z<1.又y＝log52<log5＝，x＝lnπ>lne＝1，故y<z<x.5．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　)A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0，4]D．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0，2]上是递增的，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4，故选C.6．(2022·西安八校联考)已知0<m<n<1，且1<a<b，则下列各式一定成立的是(　　)A．bm>anB．bm<anC．mb>naD．mb<na解析：选D.令f(x)＝xa，因为a>1，所以f(x)在(0，＋∞)上是递增的，因为0<m<n<1，所以ma<na；令g(x)＝mx，因为0<m<1，所以g(x)在R上是递减的．因为1<a<b，所以ma>mb，所以mb<ma<na，4\n所以mb<na，故选D.7．已知二次函数的图像过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为________．解析：依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1，又其图像过点(0，1)，所以4a－1＝1，所以a＝.所以f(x)＝(x－2)2－1.答案：f(x)＝(x－2)2－18．(2022·南昌调研)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．　解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.答案：－1或39．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)<f(5)，则m＝________．解析：因为f(x)是偶函数，所以－2m2＋m＋3应为偶数．又f(3)<f(5)，即3－2m2＋m＋3<5－2m2＋m＋3，整理得<1，所以－2m2＋m＋3>0，解得－1<m<.又m∈Z，所以m＝0或1.当m＝0时，－2m2＋m＋3＝3为奇数(舍去)；当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2为偶数．故m的值为1.答案：110．(2022·北京丰台区统一练习)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，如果函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，则m的取值范围是________．　解析：函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)恰有4个零点，可转化为函数y＝f(x)与函数y＝m的图像有四个交点，作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，可知当m∈(－1，0)时满足要求．答案：(－1，0)11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5，5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.4\n(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．解：(1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0且－＝－1，所以a＝1，b＝2.所以f(x)＝x2＋2x＋1，递减区间为(－∞，－1]，递增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．所以g(x)min＝g(－1)＝1.所以k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．1．(2022·安徽省淮南八校联考)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则(　　)A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)<f(x2)C．f(x1)>f(x2)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析：选B.由题意知，函数f(x)的图像开口向上，对称轴为x＝－1，则当0<a<3时，＝，－1<<.又x1<x2，故x1比x2离对称轴近，所以f(x1)<f(x2)．2．定义：如果在函数y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．　解析：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1.所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)3．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，4\n所以⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0＜a≤1时，⇒a不存在；当a＞1时，f(x)在[－1，1]上为减函数，所以⇒a不存在．综上可得，a＝－1.所以存在实数a＝－1满足题设条件．4．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2，所以f(x)＝(x＋1)2.所以F(x)＝所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0，1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0，1]上恒成立．又当x∈(0，1]时，－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2，0]．4