高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用知能训练轻松闯关文北师大版

第10讲函数模型及其应用1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)A．y＝100x　　　　　　　B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图像正确的是(　　)解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图像符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m分钟后甲桶中的水只有升，则m的值为(　　)A．7B．8C．9D．10解析：选D.令a＝aent，即＝ent，由已知得＝e5n，故＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10D．x＝10，y＝14解析：选A.由三角形相似得＝.得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.5．(2022·长春联合测试)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，4\n他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购这只股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这只股票略有亏损．6．(2022·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．答案：97.某人根据经验绘制了2022年元旦前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.答案：8．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.所以一至十月份的销售总额为：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，所以xmin＝20.答案：209．(2022·中山模拟)围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，4\n如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为xm，修建此矩形场地围墙的总费用为y元．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用．解：(1)如图，设矩形中与旧墙垂直的边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.由已知得xa＝360，得a＝.所以y＝225x＋－360(x>2)．(2)因为x>2，所以225x＋≥2＝10800.所以y＝225x＋－360≥10440.当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元．1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图像是(　　)解析：选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知答案为D.2．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；(2)求日销售额S的最大值．解：(1)根据题意，得S＝＝(2)①当1≤t≤30，t∈N时，4\nS＝－(t－20)2＋6400，所以当t＝20时，S的最大值为6400.②当31≤t≤50，t∈N时，S＝－90t＋9000为减函数，所以当t＝31时，S的最大值为6210.因为6210＜6400，所以当t＝20时，日销售额S有最大值6400.3．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；①当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.②解方程组得(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3≥2，即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．4