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高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第9讲函数与方程知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第9讲函数与方程知能训练轻松闯关理北师大版
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第9讲函数与方程1.(2022·皖北四校联考(一))已知函数y=f(x)的图像是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.433-7424.5-36.7-123.6则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A.2个 B.3个C.4个D.5个解析:选B.依题意,f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个.2.(2022·太原模拟)已知实数a>1,0<b<1,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析:选B.因为a>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,所以f(x)为增函数,f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,则由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点.3.(2022·周口模拟)已知函数f(x)=-log3x,若x0是函数y=f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)的值( )A.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0解析:选A.注意到函数f(x)=-log3x在(0,+∞)上是减函数,因此当0<x1<x0时,有f(x1)>f(x0).又x0是函数f(x)的零点,因此f(x0)=0,所以f(x1)>0,即此时f(x1)的值恒为正值,故选A.4.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:选B.令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=.设g(x)=|log0.5x|,h(x)=,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图像,可以发现两个函数图像一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.5.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b解析:选B.由于f(-1)=-1=-<0.f(0)=1>0,且f(x)为递增函数,5\n故f(x)=2x+x的零点a∈(-1,0).因为g(2)=0,所以g(x)的零点b=2;因为h=-1+=-<0,h(1)=1>0.且h(x)为递增函数,所以h(x)的零点c∈,因此a<c<b.6.(2022·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.[-1,1)B.[0,2]C.[-2,2)D.[-1,2)解析:选D.由题意知g(x)=因为g(x)有三个不同的零点,所以2-x=0在x>a时有一个解,由x=2得a<2.由x2+3x+2=0得x=-1或x=-2,则由x≤a得a≥-1.综上,a的取值范围为[-1,2),所以选D.7.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果我们选取初始区间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.解析:设至少需要计算n次,由题意知<0.001,即2n>100,由26=64,27=128知n=7.答案:78.已知函数f(x)=则函数g(x)=f(x)-的零点所构成的集合为________.解析:令g(x)=0,得f(x)=,所以或解得x=-1或x=或x=,故函数g(x)=f(x)-的零点所构成的集合为.答案:9.(2022·合肥模拟)函数f(x)=x2-ax+1在区间上有零点,则实数a的取值范围是________.解析:当f·f(3)<0时,函数在区间上有且仅有一个零点,即(10-3a)<0,解得<a<;当时,函数在区间上有一个或两个零点,解得2≤a<;当a=时5\n,函数的零点为和2,符合题意;当a=时,函数的零点为或3,不符合题意,综上a的取值范围是.答案:10.(2022·河北省衡水中学模拟)已知函数f(x)=,g(x)=logx,记函数h(x)=则函数F(x)=h(x)+x-5的所有零点的和为________.解析:由题意知函数h(x)的图像如图所示,易知函数h(x)的图像关于直线y=x对称,函数F(x)所有零点的和就是函数y=h(x)与函数y=5-x图像交点横坐标的和,设图像交点的横坐标分别为x1,x2,因为两函数图像的交点关于直线y=x对称,所以=5-所以x1+x2=5.答案:511.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.所以函数f(x)的零点为3或-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4×(4a)<0⇒a2-a<0,解得0<a<1,因此实数a的取值范围是(0,1).12.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围.解:由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,得⇒5\n故m的取值范围是.1.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则a的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(0,1)D.(-∞,+∞)解析:选A.x≤0时,f(x)=2-x-1,0<x≤1时,-1<x-1≤0,f(x)=f(x-1)=2-(x-1)-1.故x>0时,f(x)是周期函数,如图所示.若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是(-∞,1).2.(2022·南宁模拟)已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________. 解析:因为f(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且函数f(x)=lnx+3x-8在(0,+∞)上为增函数,所以x0∈[2,3],即a=2,b=3.所以a+b=5.答案:53.(2022·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=(1)求g[f(1)]的值;(2)若方程g[f(x)]-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解:(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)内有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图像有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图像(图略),由图像可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是.4.已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=-4lnx的零点个数.解:(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.5\n所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4lnx=x--4lnx-2(x>0),所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:56:58
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