（福建专用）高考数学总复习 第二章第5课时 二次函数与幂函数课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习第二章第5课时二次函数与幂函数课时闯关（含解析）一、选择题1．(2012·福州调研)设a∈，则使函数y＝xa的值域为R且为奇函数的所有a的值为(　　)A．－1,3　　　　　　　　B．－1,1C．1,3D．－1,1,3解析：选C.y＝x－1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝x2为偶函数，y＝x和y＝x3的值域均为R，且是奇函数．2．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是(　　)A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数解析：选B.f(x)＝x3(x∈R)，∴y＝f(－x)＝－x3在R上是单调递减的奇函数．3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么(　　)A．f(－2)<f(0)<f(2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2)D．f(0)<f(2)<f(－2)解析：选D.由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于x＝对称，又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f(0)<f(2)<f(－2)．4．若函数y＝x2－3x－4的定义域是[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)A．(0,4]B.C.D.解析：选C.f(x)＝2－，x∈[0，m]，又因为ymin＝－，f(0)＝f(3)＝－4，所以≤m≤3.5．(2010·高考安徽卷)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)解析：选D.由A，C，D知，f(0)＝c<0.∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－>0，知A，C错误．由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B错误．D符合要求．二、填空题6．已知幂函数f(x)＝kxα(k，α∈R)的图象过点(，)，则k＋α＝________.5\n解析：由幂函数的定义得k＝1，再将点(，)代入得＝()α，从而α＝，故k＋α＝.答案：7．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，则m的取值范围是________．解析：设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，由图象(如图)知，解得m∈.答案：8．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．解析：∵x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，∴mx<－x2－4，∴m<－对x∈(1,2)恒成立．又∵4<x＋<5，∴－5<－<－4，∴m≤－5.答案：(－∞，－5]三、解答题9.已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0，大致图象如图所示．(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．解：由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且(a≠0)，则，解得：，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由图知函数在(0,1)内单调递减，∴当x＝0时，y＝18，当x＝2时，y＝12.∴f(x)在(0,1)内的值域为(12,18)．(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c，∵g(x)在上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则只需g(1)≤0，即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．10．(2012·厦门调研)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，函数h(x)＝2x＋m.(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－kx在[2,4]上不是单调函数，求k的取值范围．(3)若在区间[－1,1]上，函数f(x)的图象恒在函数h(x)的图象的上方，求实数m的取值范围．5\n解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1]－[ax2＋bx＋1]＝2x.即2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k＋1)x＋1在2,4上不是单调函数，∴2＜＜4⇒3＜k＜7.故k的取值范围是(3,7)．(3)由题意得f(x)＞h(x)，即x2－x＋1＞2x＋m在[－1,1]上恒成立．即x2－3x＋1－m＞0在[－1,1]上恒成立．∵u(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴u(x)min＝u(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．一、选择题1．(2012·福安质检)已知幂函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(－2)<f(5)，若h(x)＝f(x)－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，2]D．[2，＋∞)解析：选C.∵f(x)是偶函数且为幂函数．∴f(－2)＝f(2)<f(5)，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴－2m2＋m＋3>0，∴－1<m<.又m∈Z，∴m＝0,1，而f(x)为偶函数，∴m＝1，即f(x)＝x2.∴h(x)＝x2－ax，要使其在[1，＋∞)上单调递增，则≤1，即a≤2，故选C.2．(2012·长沙调研)已知函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　　)A．f(x1)＝f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)<f(x2)D．与a的值有关解析：选C.根据函数的图象开口向下，对称轴为x＝，又依题意得x1<0，x2>0，且x1与x2关于y轴对称，则x1到x＝的距离大于x2到x＝的距离，即－x1>x2－，故f(x1)<f(x2)，选C.二、填空题3．若二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则f(1)的最小值为________．解析：法一：由题知，a>0且f(x)min＝＝0，∴ac＝1，从而c>0.∴f(1)＝a＋c＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝c＝1时取等号．法二：由题意，利用数形结合易知，即，∴f(1)＝a＋c＋2≥2＋2＝4.5\n当且仅当a＝c＝1时取等号．答案：44．(2012·厦门质检)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，则a的取值范围是________．解析：对于任意实数b，f(x)恒有两个相异不动点，对任意实数b，ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个不等实根，对任意实数b，Δ＝b2－4a(b－1)>0恒成立，对任意实数b，b2－4ab＋4a>0恒成立，Δ′＝16a2－16a<0，a(a－1)<0,0<a<1.答案：(0,1)三、解答题5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对任意x满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且其最小值f(－1)＝0，f(0)＝1.(1)若函数g(x)＝，求g(2)＋g(－2)的值；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t∈R)上的最小值h(t)；(3)求h(t)的最小值．解：(1)∵，∴，解得.∴f(x)＝(x＋1)2.∴g(x)＝，∴g(2)＋g(－2)＝9－1＝8.(2)当t＋2≤－1时，即t≤－3时，∵f(x)＝(x＋1)2在[t，t＋2]上单调递减．∴f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋3)2.当t＜－1＜t＋2时，即－3＜t＜－1时，∵f(x)＝(x＋1)2在[t，－1]上单调递减，f(x)＝(x＋1)2在[－1，t＋2]上单调递增，∴f(x)min＝f(－1)＝0；当t≥－1时f(x)＝(x＋1)2在[t，t＋2]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝(t＋1)2.综上知：f(x)在区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值为h(t)＝.(3)作出函数h(t)的图象如下：易知h(t)min＝0.6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]和[4m,4n]，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．解：(1)∵方程ax2＋bx＝2x有等根，∴Δ＝(b－2)2＝0，得b＝2.由f(x－1)＝f(3－x)知此函数图象的对称轴方程为x＝－＝1，得a＝－1，∴f(x)＝－x2＋2x.(2)f(x)＝－(x－1)2＋1≤1，∴4n≤1，即n≤，5\n而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，∴n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数，若满足题设条件的m，n存在，则，即⇒.又m＜n≤，∴m＝－2，n＝0，这时定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]，由以上知满足条件的m、n存在，m＝－2，n＝0.5