（福建专用）高考数学总复习 第二章第7课时 对数函数课时闯关（含解析）

（福建专用）2013年高考数学总复习第二章第7课时对数函数课时闯关（含解析）一、选择题1．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　　)A.B.C.D.解析：选C.由条件知，log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝8，∴x－＝.2．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．b>a>cD．b>c>a解析：选A.∵a＝log3π>1，b＝log23<1，c＝log32<1，∴a>b，a>c.又＝＝>1.∴b>c.∴a>b>c.3．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)解析：选B.由已知可得a＝，则f(x)＝x＝b－x，g(x)＝－logbx.当0<b<1时，f(x)单调递增，g(x)单调递增，B正确；当b>1时，f(x)单调递减，g(x)单调递减，无适合选项，故选B.4．已知函数f(x)＝，则f(log23)的值为(　　)A.B.C.D.解析：选A.因为1<log23＜2，所以f(log23)＝f(3＋log23)，而3＋log23＞4，所以f(3＋log23)＝3＋log23＝×log23＝×＝.5．已知实数a，b满足loga＝logb，给出五个关系式：①a＞b＞1，②0＜b＜a＜1，③b＞a＞1，④0＜a＜b＜1，⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B.在同一坐标系中作出y1＝logx与y2＝logx两函数的图象，令y1＝y2，分类比较对应易知②③④正确．4\n二、填空题6．(2012·厦门调研)设g(x)＝则g＝________.解析：g＝ln＜0，∴g＝g＝eln＝.答案：7．若loga(5－2a)＞0，则a的取值范围是________．解析：由loga(5－2a)>0得loga(5－2a)＞loga1，故或解得1<a<2.答案：(1,2)8．函数y＝f(x)与y＝ax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，则下列结论错误的是________．①f(x2)＝2f(x)；②f(2x)＝f(x)＋f(2)；③f＝f(x)－f(2)；④f(2x)＝2f(x)．解析：由题意可知f(x)＝logax，分别代入各选项检验可知④中f(2x)＝loga(2x)≠2f(x)＝2logax＝logax2.答案：④三、解答题9．计算：(1)|1＋lg0.001|＋＋lg6－lg0.02；(2).解：(1)原式＝|1－3|＋|lg3－2|＋lg300＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6.(2)原式＝＝＝＝＝＝＝1.10．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性．解：(1)函数定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数．所以f(x)为增函数．4\n故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．1．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)　　　　　　B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：法一：①若a>0，由f(a)>f(－a)得log2a>loga，由换底公式得log2a>－log2a，即2log2a>0，∴a>1.②若a<0，由f(a)>f(－a)得(－a)>log2(－a)，由换底公式得log2(－a)<0，∴0<－a<1，∴－1<a<0.选C.法二：因为f(x)为奇函数，画出f(x)草图．显然，a>1时f(a)>0，f(－a)<0，即f(a)>f(－a)，同理－1<a<0时，f(a)>f(－a)，故选C.2．(2012·福州质检)已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(　　)A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,3)D．(3，＋∞)解析：选B.记u＝(3－a)x－a，当1<a<3时，y＝logau在(0，＋∞)上为增函数，u＝(3－a)x－a在其定义域内为增函数，所以此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求．当a>3时，y＝logau在其定义域内为增函数，而u＝(3－a)x－a在其定义域内为减函数，所以此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求．当0<a<1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意．故选B.二、填空题3．函数y＝|logx|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小值是________．解析：如图，可知当a＝时，1≤b≤4，这时区间[a，b]长度最小值为1－＝；当b＝4时，≤a≤1，这时区间[a，b]长度最小值为4－1＝3.综上，b－a的最小值为.答案：4．设a>1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax＋logay＝c，这时a的取值的集合为________．4\n解析：依题意有y＝，当x∈[a,2a]时，y＝∈[a，a2]，因此，，即2a≤ac－1≤a2，又常数c唯一，∴a2＝2a，∴a＝2.答案：{2}三、解答题5．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax－1(a>1且a≠1)的图象关于直线y＝x－1对称，并且y＝f(x)在区间[3，＋∞)上总有f(x)>1.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求实数a的取值范围．解：(1)设点(x，y)是函数y＝f(x)的图象上的任一点，且点(x，y)关于直线y＝x－1的对称点为(x0，y0)，则点(x0，y0)是函数y＝ax－1图象上的点．∴解得∵y0＝ax0－1，∴x－1＝ay，∴y＝f(x)＝loga(x－1)．(2)∵y＝f(x)在区间[3，＋∞)上总有f(x)>1，且对任意x≥3，有x－1≥2，∴当a>1时，有loga(x－1)≥loga2，∴loga2>1，解得a<2.∴1<a<2.当0<a<1时，有loga(x－1)≤loga2，∴不符合题意，∴满足题意的a的取值范围是{a|1<a<2}．6．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.4