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(福建专用)高考数学总复习 第二章第11课时 变化率与导数、导数的计算课时闯关(含解析)
(福建专用)高考数学总复习 第二章第11课时 变化率与导数、导数的计算课时闯关(含解析)
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(福建专用)2013年高考数学总复习第二章第11课时变化率与导数、导数的计算课时闯关(含解析)一、选择题1.(2010·高考江西卷)若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=( )A.-1B.-2C.2D.0解析:选B.由题意知f′(x)=4ax3+2bx,若f′(1)=2,即f′(1)=4a+2b=2,从题中可知f′(x)为奇函数,故f′(-1)=-f′(1)=-4a-2b=-2,故选B.2.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=;③(cos5x)′=-5sinx;④(sinx2)′=2xcosx2;⑤(x·ex)′=ex+1.A.1B.2C.3D.4解析:选B.求导运算正确的有②④,2个,故选B.3.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为( )A.B.-C.D.-解析:选D.曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率为3,所以=-.4.曲线y=e在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.e2B.4e2C.2e2D.e2解析:选D.y′=,所以y=e在点(4,e2)的导数为,所以y=e在点(4,e2)的切线方程为y-e2=e2(x-4).切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0,-e2),所以S=×2×e2=e2.5.下图中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f′(x)的图象,则f(-1)=( )6\nA.B.-C.D.-或解析:选B.∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1),∴导函数f′(x)的图象开口向上.又∵a≠0,∴其图象必为图(3).由图象特征知f′(0)=0,且-a>0,∴a=-1.故f(-1)=--1+1=-.二、填空题6.如图,函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=________;函数f(x)在x=1处的导数f′(1)=________.解析:由题图知,f(f(0))=f(4)=2,根据导数的几何意义知f′(1)=kAB=-2.答案:2 -27.(2012·三明质检)一质点的运动方程为y=,则它在x=1时的速度为________.解析:因为y′=′==,所以y′|x=1=-.答案:-8.若点P在抛物线y=3x2+4x+2上,A(0,-3)、B(-1,-1),要使△ABP的面积最小,则P点的坐标是________.解析:欲使△ABP的面积最小,则必须使P点到直线AB的距离最近.因此作直线AB的平行直线,与抛物线相切时的切点即为所求的点P.因为y′=kAB,即6x+4=-2,得x=-1,故P点的坐标是(-1,1).答案:(-1,1)三、解答题9.求下列函数的导数:(1)y=(1-)(1+);(2)y=;(3)y=tanx;(4)y=(1+sinx)2.(2)y′=()′===.(3)y′=()′===.(4)y′=[(1+sinx)2]′=2(1+sinx)·(1+sinx)′=2(1+sinx)·cosx=2cosx+sin2x.6\n10.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,∴直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16,又∵直线l过点(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理得,x=-8,∴x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k==,又∵k=f′(x0)=3x+1,∴=3x+1,解之得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-+3垂直,∴切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,∴x0=±1,∴或切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.一、选择题1.设函数y=xsinx+cosx的图象上的点(x,y)处的切线斜率为k,若k=g(x),则函数k=g(x)的图象大致为( )解析:选B.k=g(x)=y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,故函数k=g(x)为奇函数,排除A、C;又当x∈时,g(x)>0,∴B正确.2.已知a为常数,若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0互相垂直的切线,则实数a的取值范围是( )A.B.6\nC.[-1,+∞)D.(-∞,-1]解析:选A.∵y=ax2+3x-lnx,∴y′=2ax+3-.(x>0)由2ax+3-=1,即2ax2+2x-1=0.得2a=-=2-1,∵x>0,∴2-1≥-1.∴2a≥-1,∴a≥-.故选A.二、填空题3.(2012·龙岩质检)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的导函数为f′(x),f′(0)>0.若对任意实数x都有f(x)≥0,则的最小值为________.解析:由f′(x)=2ax+b,f′(0)>0,所以b>0.又因为对任意实数x,都有f(x)≥0,所以a>0且Δ=b2-4a≤0,即b2≤4a.所以==++1≥2+1≥2+1=2.当且仅当=且b2=4a,即a=1,b=2时,“=”成立,即当a=1,b=2时,有最小值2.答案:24.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为____.解析:点(1,1)在曲线y=xn+1(n∈N*)上,点(1,1)为切点,y′=(n+1)xn,故切线的斜率为k=n+1,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0得切点的横坐标为xn=,故a1+a2+…+a99=lg(x1x2…x99)=lg=lg=-2.答案:-2三、解答题5.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)∵直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x+6x0+12),∵g′(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),6\n将点(0,9)代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.∴公切线是y=9.又有f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴公切线不是y=12x+9.综上所述公切线是y=9,此时存在,k=0.6.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求证:函数f(x)的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.解:(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.又f′(x)=a+.于是解得故f(x)=x-.(2)证明:由上知f(x)=x-,因为f(-x)=-x+=-f(x),所以是奇函数,所以函数f(x)的图象是一个中心对称图形,其对称中心为原点.(3)证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,故定值为6.6\n6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:33:26
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