高考数学总复习 第二章 第13课时 导数的应用课时闯关（含解析） 新人教版

2013年高考数学总复习第二章第13课时导数的应用课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．函数y＝(　　)A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，有最小值－2D．无最值解析：选C.∵y′＝＝.令y′＝0，得x＝1或－1，f(－1)＝＝－2，f(1)＝2.故选C.2．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)A．6cm　　　　　　　　　B．8cmC．10cmD．12cm解析：选B.设剪去的小正方形边长为xcm，则V＝x·(48－2x)2＝4x(24－x)2，∴V′(x)＝4(24－x)2＋8x·(24－x)·(－1)，令V′(x)＝0可以得x＝8.故选B.3．函数f(x)＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为(　　)A．[，e]B．(，e)C．[1，e]D．(1，e)解析：选A.f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，]上的增函数．∴f(x)的最大值为f()＝e，f(x)的最小值为f(0)＝.4．已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是(　　)A．a≥0B．a<－4C．a≥0或a≤－4D．a>0或a<－4解析：选C.∵f′(x)＝2x＋2＋，f(x)在(0,1)上单调，∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0在(0,1)上恒成立，所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立．记g(x)＝－(2x2＋2x)，0<x<1，可知－4<g(x)<0，∴a≥0或a≤－4，故选C.5．(2012·东营质检)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈4\n[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.∵f(0)＝0，∴c＝0，∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∴，即.解得a＝0，b＝－4，∴f(x)＝x3－4x，∴f′(x)＝3x2－4.令f′(x)＝0，得x＝±∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0.∴①③正确，故选C.二、填空题6．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．解析：得x>1，得0<x<1.∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝－ln1＝.答案：7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元/吨)之间的函数关系为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．则该厂每月生产________吨产品才能使利润达到最大．最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)解析：每月生产x吨时的利润为f(x)＝(24200－x2)x－(50000＋200x)＝－x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－x2＋24000＝0，解得x1＝200，x2＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个极值点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元．答案：200　3158．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，则x＝，由题设得∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．4\n答案：[－4，－2]三、解答题9．(2011·高考北京卷)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘－ek－1↗所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.10．设f(x)＝x3－x2－2x＋5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．所以f(x)的递增区间为和(1，＋∞)，f(x)的递减区间为(－，1)．(2)当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，只需使f(x)∈[－1,2]的最大值小于m即可．由(1)可知f(x)极大值＝f＝5＋，f(－1)＝，f(2)＝7，所以f(x)在x∈[－1,2]的最大值为f(2)＝7，所以m>7.11．(探究选做)某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3275(x∈N*，且1≤x≤19)．(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3240＝－30(x－12)(x＋9)，∵1≤x≤20，x∈N*，∴P′(x)＝0时，x＝12，当1≤x<12，且x∈N*时，P′(x)>0，当12<x≤20，且x∈N*时，P′(x)<0，∴x＝12时，P(x)有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．4\n(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3275＝－30(x－1)2＋3305.所以当x≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘船的利润相比，在减少．4