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(安徽专用)高考数学总复习 第二章第12课时 导数的应用与定积分课时闯关(含解析)
(安徽专用)高考数学总复习 第二章第12课时 导数的应用与定积分课时闯关(含解析)
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第二章第12课时导数的应用与定积分课时闯关(含答案解析)一、选择题1.(2011·高考湖南卷)由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为( )A.B.1C.D.解析:选D.根据定积分的定义,所围成的封闭图形的面积为cosxdx=sinx=sin-sin=.2.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时,在四角截去的正方形的边长为( )A.6cm B.8cmC.10cmD.12cm解析:选B.设剪去的小正方形边长为xcm,则V=x·(48-2x)2=4x(24-x)2,∴V′(x)=4(24-x)2+8x(24-x)(-1),令V′(x)=0可以得x=8.故选B.3.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间[0,]上的值域为( )A.[,e]B.(,e)C.[1,e]D.(1,e)解析:选A.f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx,当0≤x≤时,f′(x)≥0,∴f(x)是[0,]上的增函数.∴f(x)的最大值为f()=e,f(x)的最小值为f(0)=.4.(2012·兰州调研)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<解析:选B.∵y′=3x2-3a,令y′=0,可得:a=x2.又∵x∈(0,1),∴0<a<1.故选B.5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,给出以下结论:①f(x)的解析式为f(x)=x3-4x,x∈[-2,2];②f(x)的极值点有且仅有一个;③f(x)的最大值与最小值之和等于0.其中正确的结论有( )A.0个B.1个C.2个D.3个4\n解析:选C.∵f(0)=0,∴c=0,∵f′(x)=3x2+2ax+b.∴,即.解得a=0,b=-4,∴f(x)=x3-4x,∴f′(x)=3x2-4.令f′(x)=0,得x=±∈[-2,2],∴极值点有两个.∵f(x)为奇函数,∴f(x)max+f(x)min=0.∴①③正确,故选C.二、填空题6.函数f(x)=x2-lnx在[1,e]上的最大值为________.解析:∵f′(x)=x-,∴当x∈(1,e)时,f′(x)>0,∴f(x)在[1,e]上是增函数,故f(x)min=f(1)=.答案:7.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________.解析:f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,则x=,由题设得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].答案:[-4,-2]8.已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________.解析:当x∈(0,1]时不等式ax3-3x+1≥0可化为a≥,设g(x)=,x∈(0,1],g′(x)==-,g′(x)与g(x)随x变化情况如下表:xf′(x)+0-f(x)↗4↘因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是[4,+∞).答案:[4,+∞)三、解答题9.已知a为实数,函数f(x)=(x2+1)(x+a).若f′(-1)=0,求函数y=f(x)在上的最大值和最小值.解:∵f′(-1)=0,∴3-2a+1=0,即a=2.4\n∴f′(x)=3x2+4x+1=3(x+1).由f′(x)>0,得x<-1或x>-;由f′(x)<0,得-1<x<-.因此,函数f(x)在上的单调递增区间为,,单调递减区间为.∴f(x)在x=-1处取得极大值为f(-1)=2;f(x)在x=-处取得极小值为f=.又∵f=,f(1)=6,且>,∴f(x)在上的最大值为f(1)=6,最小值为f=.10.(2011·高考浙江卷)设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.注:e为自然对数的底数.解:(1)因为f(x)=a2lnx-x2+ax,其中x>0,所以f′(x)=-2x+a=-.由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞).(2)由题意得f(1)=a-1≥e-1,即a≥e.由(1)知f(x)在[1,e]内单调递增,要使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.只要解得a=e.11.某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)的定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本)(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000(x∈N*,且1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275(x∈N*,且1≤x≤19).(2)P′(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9),∵1≤x≤20,x∈N*,∴P′(x)=0时,x=12,当1≤x<12,且x∈N*时,P′(x)>0,当12<x≤20,且x∈N*时,P′(x)<0,∴x=12时,P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大.(3)MP(x)=-30x2+60x+3275=-30(x-1)2+3305.所以当x≥1时,MP(x)单调递减,4\n所以单调减区间为[1,19],且x∈N*.MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘船的利润相比,在减少.4
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 21:36:15
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