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【优化指导】2022高考数学总复习 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算课时演练 新人教A版

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活页作业 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0的值为(  )A.e2   B.e    C.   D.ln2解析:由f(x)=xlnx得f′(x)=lnx+1.根据题意知lnx0+1=2,所以lnx0=1,因此x0=e.答案:B3.(2022·广元模拟)已知曲线y=x3在点(a,b)处的切线与直线x+3y+1=0垂直,则a的值是(  )A.-1  B.±1  C.1  D.±3解析:由y=x3知y′=3x2,∴切线斜率k=y′|x=a=3a2.又切线与直线x+3y+1=0垂直,∴3a2=-1,即a2=1,a=±1,故选B.答案:B4.(理)(2022·长春模拟)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为(  )A.{x|x>0}  B.{x|x<0}C.{x|x<-1,或x>1}  D.{x|x<-1,或0<x<1}解析:构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.答案:A4.(文)(2022·梅州模拟)若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>-f(x6\n)恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是(  )A.af(b)>bf(a)  B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b)  D.af(b)<bf(a)解析:令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)>0.∴g(x)在R上为增函数,∵a>b,∴g(a)>g(b),即af(a)>bf(b).答案:B5.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是(  )解析:由y=f′(x)的图象知y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除A,C.又由图象知y=f′(x)与y=g′(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.答案:D6.(理)(2022·九江模拟)已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f′(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是(  )①f(x)<0恒成立;②(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0;③(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;④f>;⑤f<.A.①③  B.①③④  C.②④  D.②⑤解析:由函数f(x)的导函数的图象可得,函数f(x)是减函数,且随着自变量的增大,导函数越来越大,即函数f(x)图象上的点向右运动时,该点的切线的斜率为负,且值越来越大,由此可作出函数f(x)的草图如图所示,由图示可得<0且f<,由此可得结论中仅②⑤正确,故应选D.答案:D6\n6.(文)(2022·佛山模拟)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(  )A.f(x)=sinx+cosx  B.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1  D.f(x)=x·ex解析:由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负.对于A,f′(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;对于B,f′(x)=-2,f″(x)=-,在x∈上,恒有f″(x)<0;对于C,f′(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;对于D,f′(x)=ex+xex,f″(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,在x∈上,恒有f″(x)>0,故选D.答案:D二、填空题7.(2022·新课标全国高考)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.解析:y′=3lnx+1+3=3lnx+4,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:y=4x-38.(金榜预测)设P是函数y=(x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是________.解析:依题意得,(x>0);当x>0时,,即该图象在点P处的切线的斜率不小于,即tanθ≥.又θ∈[0,π),因此≤θ<,即θ的取值范围是.答案:三、解答题9.(理)设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(26\n))处的切线方程为y=3.(1)求y=f(x)的解析式;(2)证明曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.(1)解:f′(x)=a-,于是,9.(文)已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.解:函数y=f(x)为偶函数,∴ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e,∴b=0,d=0.又过P(0,1),代入得e=1.∴f(x)=ax4+cx2+1.6\n在x=1处的切线方程为y=x-2,∴x=1时y=-1,即f(1)=-1,∴a+c=-2.①又f′(x)=4ax3+2cx,k=f′(1)=4a+2c=1,②∴由①②得a=,c=-,∴f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.10.(理)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.10.(文)已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(2)若存在x<0,使得f′(x)=-9,求a的最大值.6\n解:f(x)=x3-x2+bx+a,f′(x)=x2-(a+1)x+b.由f′(0)=0得b=0,f′(x)=x(x-a-1).(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f′(x)=x(x-2),f(3)=1,f′(3)=3.所以函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)存在x<0,使得f′(x)=x(x-a-1)=-9,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,a≤-7,当且仅当x=-3时,a=-7.所以a的最大值为-7.6

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发布时间:2022-08-26 00:46:47 页数:6
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文章作者:U-336598

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