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【优化指导】2022高考数学总复习 第2章 第11节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课时演练 新人教A版
【优化指导】2022高考数学总复习 第2章 第11节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课时演练 新人教A版
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活页作业 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.(2022·陕西高考)设函数f(x)=xex,则( )A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点3.(2022·菏泽模拟)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )A.1<a≤2 B.a≥4C.a≤2 D.0<a≤3解析:∵f(x)=x2-9lnx,∴f′(x)=x-(x>0),当x-≤0时,有0<x≤3,即在(0,3]上原函数是减函数,∴a-1>0,a+1≤3,解得1<a≤2.答案:A4.(理)已知函数f(x)的导函数为f′(x)=5+cosx,x∈(-1,1),且f(0)=0,如果f(1-x)+f(1-x2)<0,则实数x的取值范围为( )A.(0,1) B.(1,)C.(-2,-) D.(1,)∪(-,-1)8\n解析:∵f′(x)是偶函数,∴函数f(x)是奇函数,且定义域为(-1,1),又由导数值恒大于0,∴原函数在定义域上单调递增,∴所求不等式变形为f(1-x)<f(x2-1),即-1<1-x<x2-1<1,解得1<x<,实数x的取值范围为(1,).答案:B4.(文)函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(1-x),f′(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则( )A.a<b<c B.c<a<bC.c<b<a D.b<c<a解析:依题意得,当x<时,f′(x)>0,因此,函数f(x)在上是增函数;又f(3)=f(-2),且-2<0<,于是有f(-2)<f(0)<f,即c<a<b,选B.答案:B5.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是( )A.(-2,2) B.[-2,2]C.(-∞,-1) D.(1,+∞)解析:由f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),且当x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以当x=-1时函数f(x)有极大值,当x=1时函数f(x)有极小值.要使函数f(x)有3个不同的零点,只需满足解之得-2<a<2.答案:A6.(理)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx+1有两个极值点x1,x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],则f(-1)的取值范围是( )A. B.C.[3,12] D.解析:由于f′(x)=3x2+4bx+c,据题意知方程3x2+4bx+c=0有两个根x1,x2,且x1∈[-2,-1],x2∈[1,2],令g(x)=3x2+4bx+c,结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b,c)的线性约束条件,作出其对应平面区域,f(-1)=2b-c,问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(-1)=2b-c的最值问题,由线性规划易知3≤f8\n(-1)≤12,故选C.答案:C6.(文)已知函数f(x)=+ax2+2bx+c的两个极值分别为f(x1),f(x2),若x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a的取值范围是( )A.(-4,-2) B.(-∞,2)∪(7,+∞)二、填空题7.(理)设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>a,则实数a的取值范围是________.解析:f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,解得x=1或x=-,又f(1)=,f=,f(-1)=,f(2)=7,故f(x)min=,∴a<.答案:7.(文)函数y=x+2cosx在上取得最大值时,x的值为__________.解析:y′=(x+2cosx)′=1-2sinx,令1-2sinx=0,且x∈时,x=.当x∈时,f′(x)≥0,f(x)是单调增函数,当x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减.∴f(x)max=f.8\n答案:8.(金榜预测)已知某质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,如图所示是其运动轨迹的一部分,若t∈时,s(t)<3d2恒成立,则d的取值范围为________.解析:∵质点的运动方程为s(t)=t3+bt2+ct+d,三、解答题9.(理)工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系为p=(c为常数,且0<c<6).已知每生产1件合格产品盈利3元,每出现1件次品亏损1.5元.(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率=×100%).8\n综上,若0<c<3,则当日产量为c万件时,日盈利额最大;若3≤c<6,则当日产量为3万件时,日盈利额最大.9.(文)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=-1,8\n所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256+x=+m+2m-256.(2)由(1)知,f′(x)=-+mx-=(x-512).令f′(x)=0,得x=512,所以x=64.当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以f(x)在x=64处取得最小值.此时n=-1=-1=9.故需新建9个桥墩才能使y最小.10.(理)(2022·北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.解:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,由已知可得,解得a=b=3.(2)F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+x+1,F′(x)=3x2+2ax+,令F′(x)=0,得x1=-,x2=-,∵a>0,∴x1<x2,由F′(x)>0得,x<-或x>-;由F′(x)<0得,-<x<-.∴单调递增区间是,;单调递减区间为.8\nF(-1)=-+a,F=1,F(-1)≤F,当-≥-1,即0<a≤2时,F(x)在区间(-∞,-1]上为增函数,F(x)max=F(-1)=-+a.当-<-1≤-,即2<a≤6时,F(x)在区间上单调递增,在上单调递减,所以在x=-处取得唯一极大值也是最大值F=1;当-<-1,即a>6时,F(x)在区间上单调递增,在区间-,-上单调递(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x,h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1,h′(x)=3x2+6x-9,令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1.当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h′(x)+0-0+h(x)增28减-5增当x=-3时,取极大值28;当x=1时,取极小值-5.8\n而h(2)=3<h(-3)=28,如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-26 00:46:47
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