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2022人教版高考数学(浙江版)一轮复习训练:第三章第1讲变化率与导数、导数的计算(含解析)

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[A级 基础练]1.已知函数f(x)可导,则lim等于(  )A.f′(x)   B.f′(2)C.f(x)   D.f(2)解析:选B.因为函数f(x)可导,所以f′(x)=lim,所以lim=f′(2).2.函数y=x2cosx在x=1处的导数是(  )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1解析:选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2·(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.3.已知f(x)=x(2021+lnx),若f′(x0)=2022,则x0=(  )A.e2        B.1C.ln2D.e解析:选B.因为f(x)=x(2021+lnx),所以f′(x)=2021+lnx+1=2022+lnx,又f′(x0)=2022,所以2022+lnx0=2022,所以x0=1.4.(2021·丽水模拟)曲线f(x)=在点P(1,f(1))处的切线l的方程为(  )A.x+y-2=0B.2x+y-3=0C.3x+y+2=0D.3x+y-4=0 解析:选D.因为f(x)=,所以f′(x)=,所以f′(1)=-3,又f(1)=1,所以所求切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.5.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=(  )A.-1B.0C.2D.4解析:选B.由题图可得曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,即f′(3)=-.又因为g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由题图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.6.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(lnx)=x+lnx,则f(x)=________,f′(1)=________.解析:因为f(lnx)=x+lnx,所以f(x)=x+ex,所以f′(x)=1+ex,所以f′(1)=1+e1=1+e.答案:x+ex 1+e7.(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y=x2-3lnx的一条切线的斜率为-,则切点的横坐标为________.解析:设切点为(m,n)(m>0),y=x2-3lnx的导数为y′=x-,可得切线的斜率为m-=-,解方程可得,m=2. 答案:28.(2020·金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-2)=2018,若对任意的x∈R,都有f′(x)<2x成立,则不等式f(x)<x2+2014的解集为________.解析:构造函数g(x)=f(x)-x2-2014,则g′(x)=f′(x)-2x<0,所以函数g(x)在定义域上为减函数,且g(-2)=f(-2)-22-2014=2018-4-2014=0,由f(x)<x2+2014有f(x)-x2-2014<0,即g(x)<0=g(-2),所以x>-2,不等式f(x)<x2+2014的解集为(-2,+∞).答案:(-2,+∞)9.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,所以x0=±1.所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.[B级 综合练]10.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2距离的最小值为(  )A.1B.C.D.解析:选B.因为定义域为(0,+∞),令y′=2x-=1,解得x=1,则在P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.11.若曲线y=f(x)=lnx+ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是(  )A.B.[-,+∞)C.(0,+∞)D.[0,+∞)解析:选D.f′(x)=+2ax=(x>0),根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以2ax2+1≥0(x>0)恒成立,即2a≥-(x>0)恒成立,所以a≥0,故实数a的取值范围为[0,+∞).故选D.12.(2020·宁波四中高三月考)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上).①f(x)=sinx+cosx;②f(x)=lnx-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=xex. 解析:①中,f′(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx=-sin<0在区间上恒成立;②中,f′(x)=-2(x>0),f″(x)=-<0在区间上恒成立;③中,f′(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x在区间上恒小于0.④中,f′(x)=ex+xex,f″(x)=2ex+xex=ex(x+2)>0在区间上恒成立,故④中函数不是凸函数.故①②③为凸函数.答案:①②③13.已知函数f(x)=ax+(x≠0)在x=2处的切线方程为3x-4y+4=0.(1)求a,b的值;(2)求证:曲线上任一点P处的切线l与直线l1:y=x,直线l2:x=0围成的三角形的面积为定值.解:(1)由f(x)=ax+,得f′(x)=a-(x≠0).由题意得即解得a=1,b=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x+,设曲线的切点为P,f′(x0)=1-,曲线在P处的切线方程为y-=(x-x0). 即y=x+.当x=0时,y=.即切线l与l2:x=0的交点坐标为A.由得即l与l1:y=x的交点坐标为B(2x0,2x0).又l1与l2的交点为O(0,0),则所求的三角形的面积为S=·|2x0|·=2.即切线l与l1,l2围成的三角形的面积为定值.14.(2020·绍兴一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f′(x)=3ax2+6x-6a,因为f′(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,则设切点为(x0,3x+6x0+12).因为g′(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9. 由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18;在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.[C级 提升练]15.设曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4,在曲线C上一点M(1,-4)处的切线记为l,则切线l与曲线C的公共点个数为(  )A.1B.2C.3D.4解析:选C.y′=12x3-6x2-18x,则y′|x=1=12×13-6×12-18×1=-12,所以曲线y=3x4-2x3-9x2+4在点M(1,-4)处的切线方程为y+4=-12(x-1),即12x+y-8=0.联立解得或或故切线与曲线C还有其他的公共点(-2,32),,所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.16.(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f(x)=aex+x2,g(x)=cos(πx) +bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0)),且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)),则a+b=________,直线l的方程为________.解析:f′(x)=aex+2x,g′(x)=-πsin(πx)+b,f(0)=a,g(1)=cosπ+b=b-1,f′(0)=a,g′(1)=b,由题意可得f′(0)=g′(1),则a=b,又f′(0)==a,即a=b=-1,则a+b=-2;所以直线l的方程为x+y+1=0.答案:-2 x+y+1=0

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发布时间:2021-10-08 18:03:37 页数:8
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文章作者:随遇而安

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