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高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第11讲变化率与导数导数的计算知能训练轻松闯关理北师大版
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第11讲变化率与导数、导数的计算1.函数y=x2cosx在x=1处的导数是( )A.0 B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1解析:选B.因为y′=(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以y′|x=1=2cos1-sin1.2.(2022·赣州高三月考)已知t为实数,f(x)=(x2-4)(x-t)且f′(-1)=0,则t等于( )A.0B.-1C.D.2解析:选C.依题意得,f′(x)=2x(x-t)+(x2-4)=3x2-2tx-4,所以f′(-1)=3+2t-4=0,即t=.3.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f′(2016)=( )A.1B.2C.D.解析:选D.令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt+t,故f(x)=lnx+x.求导得f′(x)=+1,故f′(2016)=+1=.4.已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于( )A.2B.-2C.D.-解析:选D.由已知条件f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,知f′(x)=2x+3f′(2)+,令x=2,则f′(2)=2×2+3f′(2)+,即2f′(2)=-,所以f′(2)=-.5.已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( )6\n解析:选B.从导函数的图像可以看出,导函数值先增大后减小,x=0时最大,所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小,在x=0时变化率最大.A项,在x=0时变化率最小,故错误;C项,变化率是越来越大的,故错误;D项,变化率是越来越小的,故错误;B项正确.6.(2022·大连高三联考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cosx的图像与直线l相切于P点,若l⊥m,则P点的坐标可能是( )A.B.C.D.解析:选B.因为直线m的斜率为-,l⊥m,所以直线l的斜率为2.因为函数y=3x+cosx的图像与直线l相切于点P,设P(a,b),则b=3a+cosa且y′|x=a=3-sina=2,所以sina=1,解得a=+2kπ(k∈Z),所以b=+6kπ(k∈Z),所以P(k∈Z),当k=0时,P,故选B.7.函数y=的导数为________.解析:y′==.答案:8.(2022·高考陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.解析:由题知y′=ex+xex,令y′=0,解得x=-1,代入函数解析式可得极值点的坐标为,又极值点处的切线为平行于x轴的直线,故方程为y=-.答案:y=-6\n9.(2022·郑州第二次质检)如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),其中g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=________.解析:由图可得曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,即f′(3)=-.又因为g(x)=xf(x),所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),由图可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.答案:010.(2022·保定一模)函数f(x)=lnx+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是________.解析:函数f(x)=lnx+ax的图像上存在与直线2x-y=0平行的切线,即f′(x)=2在(0,+∞)上有解,而f′(x)=+a,即+a=2在(0,+∞)上有解,a=2-,因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2).答案:(-∞,2)11.求下列函数的导数:(1)y=(3x3-4x)(2x+1);(2)y=;(3)y=sin2x+2x+e;(4)y=+ .解:(1)法一:因为y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y′=24x3+9x2-16x-4.法二:y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.(2)y′===.(3)y′=cos2x·(2x)′+2xln2+0=2cos2x+2xln2.(4)因为y=+==,6\n所以y′=′==.12.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)因为y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,所以当x=2时,y′=-1,y=,所以斜率最小的切线过,斜率k=-1,所以斜率最小的切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,所以tanα≥-1,所以α∈∪.1.(2022·高考陕西卷)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x解析:选A.设三次函数的解析式为y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则y′=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是函数y=ax3+bx2+cx+d在点(0,0)处的切线,则y′|x=0=-1⇒c=-1,排除选项B、D.又因为y=3x-6是该函数在点(2,0)处的切线,则y′|x=2=3⇒12a+4b+c=3⇒12a+4b-1=3⇒3a+b=1.只有A选项的函数符合,故选A.2.(2022·石家庄模拟)若对于曲线f(x)=-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1,总存在曲线g(x)=ax+2cosx的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为________.解析:易知函数f(x)=-ex-x的导数为f′(x)=-ex-1,设l1与曲线f(x)=-ex-x的切点为(x1,f(x1)),则l1的斜率k1=-ex1-1.易知函数g(x)=ax+2cosx的导数为g′(x)=a-2sinx,设l2与曲线g(x)=ax+2cosx的切点为(x2,g(x2)),则l2的斜率k2=a-2sinx2.由题设可知k1·k2=-1,从而有(-ex1-1)(a-2sinx2)=-1,所以a-2sinx2=,6\n故由题意知对任意x1,总存在x2使得上述等式成立,则有y1=的值域是y2=a-2sinx2值域的子集,则(0,1)⊆[a-2,a+2],则所以-1≤a≤2.答案:[-1,2]3.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.解:(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,所以直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16,又因为直线l过点(0,0),所以0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理得,x=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,所以x0=±1.所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.4.(2022·河北省唐山一中月考)已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f′(x)=3ax2+6x-6a,因为f′(-1)=0,所以3a-6-6a=0,所以a=-2.(2)存在.由已知得,直线m恒过定点(0,9),若直线m是曲线y=g(x)的切线,6\n则设切点为(x0,3x+6x0+12).因为g′(x0)=6x0+6,所以切线方程为y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将(0,9)代入切线方程,解得x0=±1.当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由(1)知f(x)=-2x3+3x2+12x-11,①由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,解得x=-1或x=2.在x=-1处,y=f(x)的切线方程为y=-18;在x=2处,y=f(x)的切线方程为y=9,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9.②由f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,解得x=0或x=1.在x=0处,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;在x=1处,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,所以y=f(x)与y=g(x)的公切线不是y=12x+9.综上所述,y=f(x)与y=g(x)的公切线是y=9,此时k=0.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:56:50
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