【高考领航】2022高考数学总复习 2-11 变化率与导数、导数的计算练习 苏教版
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【高考领航】2022高考数学总复习2-11变化率与导数、导数的计算练习苏教版【A组】一、填空题x1.(2022·高考江西卷)曲线y=e在点A(0,1)处的切线斜率为________.x解析:y′=e,k=y′|x=0=1答案:122.函数f(x)=(x+2a)(x-a)的导数为________.222解析:f′(x)=(x-a)+(x+2a)[2(x-a)]=3(x-a).22答案:3(x-a)33.(2022·高考山东卷)曲线y=x+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.2解析:y′=3x,故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3,故切线方程是y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.答案:9πsinx1,04.(2022·高考湖南卷)曲线y=-在点M4处的切线的斜率为sinx+cosx2________.cosxsinx+cosx-sinxcosx-sinx解析:y′==2sinx+cosx1π1,把x=代入得导数值为.1+sin2x421答案:225.(2022·江南十校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+x,则f′(1)=________.解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,得f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2.答案:-236.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x-10x+3上,且在第二象限内,已知1\n曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.32解析:由y=x-10x+3,得y′=3x-10,由曲线C在点P处的切线的斜率为2,2∴y′=3x-10=2,2即x=4,又点P在第二象限,∴x=-2,又点P在曲线C上,∴y=(-8)+20+3=15,则点P的坐标为(-2,15).答案:(-2,15)27.设P为曲线C:y=x-x+1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[-1,3],则点P纵坐标的取值范围是________.2解析:设P(a,a-a+1),y′x=a=2a-1∈[-1,3],∴0≤a≤2.1a-322而g(a)=a-a+1=2+,413当a=时,g(a)min=.243,3a=2时,g(a)max=3,故P点纵坐标范围是4.3,3答案:4二、解答题328.已知函数f(x)=ax+bx+cx,且f(-1)=-1,若方程f′(x)=0的实数根为±1,求方程f(x)=0的实数根.解:由题设的三个条件“f(-1)=-1,f′(1)=0,f′(-1)=0”列方程组可解得a、b、c的值.∵f(-1)=-1,∴-a+b-c=-1,即a-b+c=1.①2又∵f′(x)=3ax+2bx+c,f′(x)=0的实数根为±1,∴3a+2b+c=0,②,且3a-2b+c=0,③13联立方程①②③,解得a=-,b=0,c=.22133由f(x)=0,得-x+x=0,解得x=0,22或x=±3,即方程f(x)=0的实数根为0,±3.2\n39.已知函数f(x)=x-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.32解:(1)由f(x)=x-3x得,f′(x)=3x-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求直线方程为y=-2.3(2)设切点为(x0,x0-3x0),(x0≠1),2切线斜率k=f′(x0)=3x0-3,32切线为y-(x0-3x0)=(3x0-3)(x-x0)又切线过P(1,-2)32∴-2-x0+3x0=(3x0-3)(1-x0)322即2x0-3x0+1=0∴(x0-1)(2x0+1)=01∵x0≠1,∴x0=-21331-+-3x+∴所求切线方程为y-82=42,即9x+4y-1=0.【B组】一、填空题πsinx1,01.曲线y=-在点M4处的切线与直线x+my+2=0垂直,则m=sinx+cosx2________.22cosx+sinx1解析:∵y′==,2sinx+cosx1+sin2xπ1∴在点M处的切线斜率k=y′|x==,421-1∵km=-1,∴m=.21答案:2-2x2.曲线y=e+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为________.-2x解析:y′=-2e,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,∴切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形如图中阴影部分所示,其中直线y=-2x+222,121与y=x的交点A33,所以三角形面积S=×1×=.2333\n1答案:333.(2022·高考广东卷)曲线y=x-x+3在点(1,3)处的切线方程为________.2解析:易知y′=3x-1,∴y在点(1,3)处切线的斜率k=2,∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.答案:2x-y+1=024.(2022·高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.2x解析:y=,y′=x,2∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),y=4x-8,即y=-2x-2,解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.y=-2x-2答案:-43b5.(2022·河南郑州模拟)直线y=kx+1与曲线y=x+ax+b相切于点A(1,2),则a=()2解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),∴2=k+1,即k=1.∵曲线y′=3x+a,又∵直线y=kx+1与曲线相切于点(1,2),∴y′=k,且y′|x=1=3+a,即1=3+a,∴3b3a=-2,代入曲线方程y=x+ax+b,可解得b=3.∴a=(-2)=-8.答案:-8lnx6.函数f(x)=在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)等于________.x解析:与x轴平行的切线,其斜率为0,1·x0-lnx0所以f′(x0)=x02x04\n1-lnx01==0,故x0=e,∴f(x0)=.2x0e1答案:e327.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x+3x-1相切的直线方程是________.32解析:设切点的坐标为(x0,x0+3x0-1),则由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切22线的斜率为-3,又f′(x)=3x+6x,故3x0+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.答案:3x+y+2=0二、解答题28.已知曲线方程为y=x.(1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程;(2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程.2解:(1)∵A在曲线y=x上,22∴过A与曲线y=x相切的直线只有一条,且A为切点.由y=x,得y′=2x,∴y′|x=2=4,因此所求直线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设切点P的坐标为(x0,y0),2由y=x得y′=2x,∴y′|x=x0=2x0,5-y0由已知kPB=2x0,即=2x0.3-x02又y0=x0代入上式整理得:x0=1或x0=5,∴切点坐标为(1,1),(5,25),∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.39.已知曲线y=x+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标;(2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程.32解:(1)由y=x+x-2,得y′=3x+1,2由已知令3x+1=4,解之得x=±1.当x=1时,y=0;当x=-1时,y=-4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(-1,-4).(2)∵直线l⊥l1,l1的斜率为4,1∴直线l的斜率为-.4∵l过切点P0,点P0的坐标为(-1,-4),5\n1∴直线l的方程为y+4=-(x+1),4即x+4y+17=0.6
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