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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第2章 第10节 变化率与导数、导数的计算课时作业 理

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课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算一、选择题1.(2015·浙江温州联考)已知偶函数f(x)在R上任一取值都有导数,且f′(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在x=-5处的切线的斜率为(  )A.-1B.-2C.1D.2答案:A解析:由于f(x)是R上的偶函数,故其图象关于y轴对称,∴f′(-x)=-f′(x),又f(x+2)=f(x-2),∴f(x)是周期为4的周期函数,故f(x)在x=-5处的导数就是在x=-1处的导数,又f′(-1)=-f′(1)=-1,∴曲线y=f(x)在x=-5处的切线的斜率为-1,故应选A.2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是(  )A.0秒  B.1秒末C.2秒末  D.1秒末和2秒末答案:D解析:∵s=t3-t2+2t,∴v=s′(t)=t2-3t+2.令v=0,得t2-3t+2=0,解得t1=1或t2=2.故应选D.3.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)+ex-1+x2,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(  )A.2x-y-1=0B.x-y-3=0C.3x-y-2=0D.2x+y-3=0答案:B解析:令x=1,解得f(1)=-2.对等式两边求导,得f′(x)=-2f′(2-x)+ex-1+2x,令x=1,解得f′(1)=1,所以切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.故应选B.4.(2015·郑州模拟)曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(  )A.B.5\nC.D.1答案:A解析:y′x=0=(-2e-2x)x=0=-2,故曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2,易得切线与直线y=0和y=x的交点分别为(1,0),,故围成的三角形的面积为×1×=.故应选A.5.已知函数f(x)=xn+1(n∈N*)的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为(  )A.-1B.1-log20132012C.-log20132012D.1答案:A解析:函数的导数为f′(x)=(n+1)xn,所以在x=1处的切线斜率为k=f′(1)=n+1,所以函数f(x)=xn+1在点P处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得xn=,所以x1·x2·…·x2012=××…×=,所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013(x1·x2·…·x2012)=log2013=-1,故应选A.6.(2015·泰安模拟)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数.记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是(  )A.f(x)=sinx+cosx  B.f(x)=lnx-2xC.f(x)=-x3+2x-1  D.f(x)=xex答案:D解析:由凸函数的定义可知,该题是判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负.对于A,f′(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx,在x∈上,恒有f″(x)<0;对于B,f′(x)=-2,f″(x)=-,在x∈上,恒有f″(x)<0;5\n对于C,f′(x)=-3x2+2,f″(x)=-6x,在x∈上,恒有f″(x)<0;对于D,f′(x)=ex+xex,f″(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,在x∈上,恒有f″(x)>0.故应选D.二、填空题7.若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=________.答案:-1解析:y′|x=1=0,即当x=1时,k+=k+1=0,解得k=-1.8.(2015·成都模拟)已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-2)x的函数f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程是________.答案:y=-2x解析:∵f′(x)=3x2+2ax+a-2是偶函数,∴a=0,∴f(x)=x3-2x,f′(x)=3x2-2,∴f′(0)=-2,f(0)=0,∴切线方程为y=-2x.9.(2014·江西)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是________.答案:(e,e)解析:由题意,得y′=lnx+x·=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).10.(2015·烟台模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为________.答案:2解析:由直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,可知=1,即x+a=1,此时y=ln(x+a)=ln1=0,且x+1=0,x=-1.∴-1+a=1,解得a=2.三、解答题11.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;5\n(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.解:(1)由f(x)=x3-3x,得f′(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,∴所求的直线方程为y=-2.(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f′(x0)=3x-3.又直线过(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=,又=3x-3,即x-3x0+2=3(x-1)(x0-1),解得x0=1(舍去)或x0=-,故所求直线的斜率为k=3×=-,∴y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.12.(2015·深圳模拟)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意,得解得b=0,a=-3或a=1.(2)∵曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,∴关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,∴a≠-.∴a的取值范围为∪.13.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,且f′(-1)=0.5\n(1)求a的值;(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)存在.∵直线m恒过定点(0,9),直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3x+6x0+12),∵g′(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3x+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0),将点(0,9)代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f′(x)=0,得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,y=f(x)的切线方程为y=9.∴公切线是y=9.又令f′(x)=12,得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,y=f(x)的切线方程为y=12x-10,∴公切线不是y=12x+9.综上所述,公切线是y=9,此时k=0.5

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发布时间:2022-08-25 17:45:14 页数:5
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文章作者:U-336598

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