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【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用(二)课时作业 理
【名师伴你行】(新课标)2023高考数学大一轮复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用(二)课时作业 理
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课时作业(十五) 导数在研究函数中的应用(二)一、选择题1.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为( )A.(-2,2)B.[-2,2]C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案:A解析:y′=3(1-x)(1+x),由y′=0,得x=±1,∴y极大值=2,y极小值=-2,∴-2<m<2.故应选A.2.(2015·北京模拟)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则不等式xf(x)>0的解集为( )A.(-4,0)∪(4,+∞)B.(-4,0)∪(0,4)C.(-∞,-4)∪(4,+∞)D.(-∞,-4)∪(0,4)答案:D解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)=xf′(x)+f(x)<0,∴函数g(x)在区间(-∞,0)上是减函数.∵f(x)是定义在R上的偶函数.∴g(x)=xf(x)是R上的奇函数,∴函数g(x)在区间(0,+∞)上是减函数.∵f(-4)=0,∴f(4)=0,即g(4)=0,g(-4)=0,∴xf(x)>0化为g(x)>0,设x>0,故不等式为g(x)>g(4),即0<x<4;设x<0,故不等式为g(x)>g(-4),即x<-4,故所求的解集为(-∞,-4)∪(0,4),故应选D.3.(2015·大连模拟)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( )A.(-1,1) B.(-1,+∞)6\nC.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)答案:B解析:由已知,[f(x)-(2x+4)]′=f′(x)-2>0,∴g(x)=f(x)-(2x+4)单调递增,又g(-1)=0,∴f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞).故应选B.4.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S′(t)的图象大致为( )答案:A解析:由导数的定义知,S′(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率,如图,正五角星薄片中首先露出水面的是区域I,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S′(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S′(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S′(t)>0(故可排除B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S′(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.故应选A.5.设1<x<2,则,2,的大小关系是( )A.2<<B.<2<C.2<<D.<2<答案:A解析:令f(x)=x-lnx(1<x<2),则f′(x)=1-=>0,所以函数y=f(x)(1<x<2)为增函数,6\n∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>lnx>0,则0<<1,∴2<.又-==>0,∴2<<,故应选A.6.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,f′(x)是f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π)且x≠时,f′(x)>0,则函数y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零点个数为( )A.2B.4C.5D.8答案:B解析:∵f′(x)>0,当<x<π时,f′(x)>0,∴f(x)在上是增函数;当0<x<时,f′(x)<0,∴f(x)在上是减函数.设π≤x≤2π,则0≤2π-x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知,f(2π-x)=f(x).故π≤x≤2π时,0<f(x)<1.依题意作出草图(图略)可知,y1=f(x)与y2=sinx在[-2π,2π]上有四个交点.故应选B.二、填空题7.若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f,f(2)的大小关系为________.6\n答案:f(-3)<f(2)<f解析:由f(-x)=f(x)知函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x∈时,f′(x)>0,当x∈时,f′(x)<0,∴f(x)在区间上是减函数,∴f>f(2)>f(3)=f(-3).8.(2015·北京海淀区模拟)若函数f(x)满足:“对于区间(1,2)上的任意实数x1,x2(x1≠x2),|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|恒成立”,则称f(x)为完美函数.给出以下四个函数:①f(x)=;②f(x)=|x|;③f(x)=x;④f(x)=x2.其中是完美函数的序号是________.答案:①③解析:由|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|知,<1,即|f′(x)|<1.经验证①③符合题意.9.(2015·山西四校联考)log0.5>log0.5对任意x∈[2,4]恒成立,则m的取值范围为________.答案:(45,+∞)解析:以0.5为底的对数函数为减函数,所以得真数关系为<,所以m>-x3+7x2+x-7,令f(x)=-x3+7x2+x-7,则f′(x)=-3x2+14x+1,因为f′(2)>0且f′(4)>0,所以f′(x)>0在[2,4]上恒成立,即在[2,4]上函数f(x)为增函数,所以f(x)的最大值为f(4)=45,因此m>45.三、解答题10.已知定义在区间[-2,t](t>-2)上的函数f(x)=(x2-3x+3)ex.(1)当t>1时,求函数y=f(x)的单调区间;(2)设m=f(-2),n=f(t),试证明m<n.解:(1)f′(x)=(2x-3)ex+ex(x2-3x+3)=exx(x-1).由于t>1,故当x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;6\n当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,t)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上,函数y=f(x)的单调递增区间为(-2,0),(1,t);单调递减区间为(0,1).(2)证明:m=f(-2)=13e-2,n=f(t)=(t2-3t+3)et,设h(t)=n-m=(t2-3t+3)et-13e-2,h′(t)=(2t-3)et+et(t2-3t+3)=ett(t-1))(t>-2).h(t)与h′(t)随t的变化情况如下表:t(-2,0)0(0,1)1(1,+∞)h′(t)+0-0+h(t)极大值极小值由上表可知,h(t)的极小值为h(1)=e-=>0,又h(-2)=0,所以当t>-2时,h(t)>h(-2)=0,即h(t)>0,因此n-m>0,即m<n.11.(2015·成都模拟)成都市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距36km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).(1)试将y表示为x的函数;(2)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值.解:(1)设点C受A污染源污染指数为,点C受B污染源污染指数为,其中k为比例系数,且k>0.从而点C处污染指数y=+(0<x<36).(2)∵a=1,∴y=+,y′=k,令y′=0,得x=,当x∈时,函数单调递减;当x∈时,函数单调递增.∴当x=时,函数取得最小值.6\n又此时x=6,解得b=25,经验证符合题意.12.(2015·大连模拟)已知函数f(x)=x3+x2-ax-a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a).(2)由(1)知,f(x)在区间(-2,-1)内单凋递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0<a<.所以a的取值范围是.6
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:45:15
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文章作者:U-336598
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