2023年新高考一轮复习讲义第16讲 变化率与导数、导数的计算（解析版）

第16讲　变化率与导数、导数的计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）若函数，，则a=(       )A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】由，得，又，所以，则．故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，其导函数记为，则（       ）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数.又为偶函数，所以，，所以.故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）下列函数求导运算正确的个数为（       ）①；②；③；④；⑤．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①,故错误;②,故正确;③,故正确;④,故错误;⑤,故错误;故选：B.4．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）函数的图象在处的切线对应的倾斜角为，则sin2=（       ）A．B．±C．D．±【答案】C【解析】因为所以当时，，此时，∴．故选：C.5．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（       ）A．8B．9C．10D．13【答案】B【解析】设切点为，的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，令，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，故选：B6．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，故选：A．7．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】从的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0，根据导数的几何意义可得，即.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：C8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知偶函数，当时，，则的图象在点处的切线的斜率为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，，解得：，当时，；当时，，，又为偶函数，，即时，，则，.故选：A.9．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切线：，即切线：，即，令在上单调递增，在上单调递减，所以故选：A．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 10．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列求导数运算正确的有（       ）A．B．C．D．【答案】AD【解析】A：，故正确；B：，故错误；C：，故错误；D：，故正确.故选：AD11．（多选）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列曲线在x=0处的切线的倾斜角为钝角的是（       ）A．曲线B．曲线C．曲线D．曲线【答案】BC【解析】若，则，当时，，故选项A不符合题意；若，则，当时，，故选项B符合题意；若，则，当时，，故选项C符合题意；若，则，当时，，故选项D不符合题意，故选：BC12．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知函数，则函数___________.【答案】【解析】由题意得，且，令，得，故故答案为：试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 13．（2022·广东·模拟预测）已知，则曲线在处的切线方程为________．【答案】【解析】因为所以，所以，∴切线方程为，即．故答案为：.14．（2022·北京市第一六一中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=___________：①：②当时，；③是偶函数．【答案】（答案不唯一）【解析】取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为，又，故是偶函数，满足③.故答案为：（答案不唯一）15．（2022·全国·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【答案】        【解析】解：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；16．（2022·全国·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为：17．（2022·山东威海·三模）已知曲线，若有且只有一条直线同时与，都相切，则________．【答案】1【解析】设与相切于，与相切于点，由，得，则与相切于点的切线方程为：，即，由，，则与相切于点的切线方程为：，即，，因为两切线重合，所以，①，②，由①得试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，代入②得，，化简得，，明显可见，，时等式成立.故答案为：118．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.【解】（1）因为，则；（2）所求切线斜率为，当时，，切点坐标为，因此，函数的图象在点处的切线方程为.19．（2022·全国·高考真题（文））已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；(2)求a的取值范围．【解】(1)由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；(2)，则在点处的切线方程为，整理得，设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，则，整理得，令，则，令，解得或，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：01000则的值域为，故的取值范围为.【素养提升】1．（2022·湖北·模拟预测）若过点可作曲线三条切线，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，由，故切线方程为，因为在切线上，所以代入切线方程得，则关于t的方程有三个不同的实数根，令，则或，所以当，时，，为增函数，当时，，为减函数，且时，，时，，所以只需，解得故选：A2．（2022·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（       ）试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意故选：B3．（多选）（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）已知函数(为自然对数的底数)，过点作曲线的切线.下列说法正确的是（       ）A．当时，若只能作两条切线，则B．当，时，则可作三条切线试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 C．当时，可作三条切线，则D．当，时，有且只有两条切线【答案】AC【解析】函数，所以，设切点，则切线的斜率为，则切线方程为：，选项A，当时，则，设，所以，所以，当，，单调递减，当，，单调递增，如图：当时，取得极小值，极小值为0，当时，取得极大值，极小值为，若只能做两条切线，与有且只有两个交点，则，故选项正确；选项B，当时，时，则与有且只有一个交点，因此可做一条切线，故该选项错误；选项C，当时，则，设，所以，因为，所以，当，，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 单调递减，当，，单调递增，如图：所以，当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极小值为，由可作三条切线，则与有3个交点，则，故该选项正确；选项D，当时，则，此时，设，所以，，所以单调递减，且，如图：所以，当时，与只有1个交点，因此有且只有1条切线，故该选项错误.故选：AC.4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．【答案】【解析】设公切线在上的切点为，在上的切点为，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则曲线在切点的切线方程的斜率分别为，，对应的切线方程分别为、，即、，所以，得，有，则，整理，得，设，则，，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，因为两条曲线有2条公共切线，所以函数与图像有两个交点，又，且，如图，所以，解得.故答案为：.5．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线上的动点，O为坐标原点．当最小时，直线OP恰好与曲线相切，则实数a＝___．【答案】【解析】设，所以，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 设，，当时，，，所以单调递增，当时，，，所以单调递减，当时，函数有最小值，即有最小值，所以，此时直线OP的方程为，设直线与曲线相切于点，由，显然在直线上，则，因此有，故答案为：试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司