2023年新高考一轮复习讲义第14讲 函数与方程（解析版）

第14讲　函数与方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点所在的区间是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：函数，画出与的图象，如下图：当时，，当时，，函数的零点所在的区间是．故选：D．2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点为（       ）A．0或B．0C．D．0或【答案】A【解析】因为函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，所以b＝－2a，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以g(x)＝－2ax2－ax＝－a(2x2＋x)．令g(x)＝0，得x1＝0，x2＝－．故选：A3．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测）已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：D4．（2022·重庆·三模）已知函数则函数的零点个数为（       ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】解：当时，，因为，所以舍去；当时，或，满足.所以或.函数的零点个数为2个.故选：C试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5．（2022·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：作出函数的图象如图：依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，因为必过，且，若时，方程不可能有三个实数解，则必有，当直线与在时相切时，设切点坐标为，则，即，则切线方程为，即，切线方程为，且，则，所以，即当时与在上有且仅有一个交点，要使方程有且仅有三个的实数解，则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，故选：B6．（2022·浙江·模拟预测）已知函数在上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（       ）A．0B．C．D．4【答案】C【解析】令，，由函数在上有且仅有1个零点，则方程，其中，有且只有一个解，从而的值域为有限区间，故必有，从而有的值域为，所以，即，从而可以选，故选项C正确．故选：C．7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为，对任意，都有．现已知，那么（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨设，则，所以，得，，因为，所以．令，易得在上单调递增，因为，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，由零点存在定理知：.故选：D．8．（2022·辽宁·大连二十四中模拟预测）已知函数，若方程的所有实根之和为4，则实数的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，当时，方程为，即，作出函数及的图象，由图象可知方程的根为或，即或，作出函数的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；当时，方程为，即，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由图象可知方程的根，即，结合函数的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.故选：C.9．（多选）（2022·湖南师大附中三模）已知函数对定义域内任意x，都有，若函数在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k的可能取值为（     ）A．0B．1C．D．【答案】ABD【解析】由已知，，则的周期为2.其大数图象如图所示，由图可知，①当时，零点为1、3、5、7、…，满足题意；②当时，零点为0、2、4、6、…，满足题意；③当时，若零点从小到大构成等差数列，公差只能为1.由，得，此时；④当时，函数无零点，不符合题意.故选：ABD.10．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则________；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ________．【答案】    1    【解析】∵，∴∴故答案为：1，11．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数，若方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围为_________．【答案】【解析】由题知：方程有4个不同的实数解，即有4个不同的实数解．作出图像（如图所示），即直线与曲线有4个公共点．易知：．故答案为：．12．（2022·全国·高三专题练习）已知，给出下列四个结论：（1）若，则有两个零点；（2），使得有一个零点；（3），使得有三个零点；（4），使得有三个零点．以上正确结论的序号是__．【答案】（1）（2）（4）【解析】函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 作函数与直线的图象如图，若，则函数与直线的图象在与上各有一个交点，则有两个零点，故（1）正确；若，则当函数与直线的图象相切时，有一个零点，故（2）正确；当时，函数与直线的图象至多有两个交点，故（3）不正确；当且足够小时，函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）．13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知是函数（且）的三个零点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】显然，设，则，所以1是的零点，且另两个零点关于对称，所以，则，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，则，所以在单调递减，所以，即的取值范围是.故答案为：.14．（2022·全国·高三专题练习）已知，若在上存在，使，求实数的取值范围．【解】因为在上存在，使，所以有，解得．故实数的取值范围为.15．（2022·上海·模拟预测）设，已知函数．(1)若时，解不等式；(2)若在区间上有零点，求的取值范围．【解】(1)当时，；不等式即为，即，，得，所以不等式的解集为；(2)由题意，令，即方程在区间上有实数解．整理得．由，得，．所以，的取值范围为．16．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上至少有一个零点．求实数的取值范围．【解】因为函数在区间上至少有一个零点，且，所以或，解得或，即．所以实数的取值范围为．试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【素养提升】1．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（       ）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】令．①当时，，则函数在上单调递增，由于，由零点存在定理可知，存在，使得；②当时，，由，解得．作出函数，直线的图象如下图所示：由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．故选：D．2．（2022·河北·模拟预测）已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是（       ）试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】A【解析】解：，当时令，解得，当时，当时，令，解得或，令，解得或，函数的图象如下所示：因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以，不妨令，则，且与关于对称，所以，又，即，所以，即，所以，所以，因为在上单调递增，所以，试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以；故选：A3．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，对任意的，在上至多个零点，不合乎题意，所以，.函数的对称轴为直线，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且.①当时，即当时，则函数在上无零点，所以，函数在上有个零点，当时，，则，由题意可得，解得，此时不存在；②当时，即当时，函数在上只有一个零点，当时，，则，则函数在上只有个零点，此时，函数在上的零点个数为，不合乎题意；③当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时；试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ④当时，即当时，函数在上有个零点，则函数在上有个零点，则，解得，此时，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.4．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．【答案】    2    【解析】解：当时，，当时，，则，当时，，则，所以当时，函数有2个零点；令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，当时，，当时，，令，则，如图，分别作出函数和的图象，由图可知，函数的最大值为，即的值域为.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：2；.试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第15页，共1页学科网（北京）股份有限公司