2023年新高考一轮复习讲义第11讲 指数与指数函数（解析版）

第11讲　指数与指数函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·全国·高三专题练习）化简的结果为（        ）A．－B．－C．－D．－6ab【答案】C【解析】原式＝.故选：C.2．（2022·山东临沂·三模）已知，则a，b，c的大小关系是（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以.故选：C.3．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数，则（       ）A．是偶函数，且在是单调递增B．是奇函数，且在是单调递增C．是偶函数，且在是单调递减D．是奇函数，且在是单调递减【答案】B【解析】解：定义域为，且，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；故选：B4．（2022·山东潍坊·模拟预测）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于是上的奇函数，所以，所以为减函数，所以，所以，为上的减函数，，所以BCD选项错误，A选项正确.故选：A5．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，若时，则实数a的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】C试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解析】不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．故选：C6．（2022·北京·高考真题）己知函数，则对任意实数x，有（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．7．（2022·海南·模拟预测）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：，其中为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度，为反应活化能，为阿伦尼乌斯常数．对于某一化学反应，若热力学温度分别为和时，反应速率常数分别为和（此过程中与的值保持不变），经计算，若，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知：，，则.故选：A.8．（多选）（2022·广东韶关·二模）已知则下列结论正确的是（        ）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】由题可知，，又，所以，D错误；试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为，有．所以A正确；由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；又因为，，所以，故，B正确；由于，，所以，C正确.故选：ABC．9．（多选）（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（       ）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】解：设，则，，，所以，即，所以，所以，故D正确；由，所以，故A正确，B错误；因为，，又，所以，即，故C正确；故选：ACD10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知实数满足，则（       ）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】由得，又，所以，所以，所以，选项错误；因为，所以，即，所以，选项试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 正确，因为，所以，所以.令，则，所以在区间上单调递增，所以，即，又，所以，即，选项正确.故选：BCD11．（多选）（2022·山东烟台·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（       ）A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高【答案】BCD【解析】设甲与乙的工人工作效率，工作年限，劳累程度，劳动动机，对于A，，，，，∴，，，所以，即甲比乙劳累程度弱，故A错误；对于B，，，，∴，，∴，所以，即甲比乙劳累程度弱，故B正确.对于C，，，，∴，，则，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴，即甲比乙工作效率高，故C正确；对于D，，，，，∴，，则，∴，即甲比乙工作效率高，故D正确；故选：BCD.12．（2022·浙江金华·模拟预测）已知，函数，___________；若，则___________.【答案】    4    0【解析】解：因为，所以，，，即，所以，故答案为：；.13．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知函数若，则实数__________.【答案】【解析】令，则当时，，解得；当时，，解得所以当，此时，有，解得，不满足条件；当，若，则，解得，此时不满足条件；当，则，解得故答案为：．试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 14．（2022·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值和最小值之和为6，则实数______.【答案】2【解析】当时，函数在区间上是增函数，所以，，由于最小值和最大值之和6，即：，解得：或﹣3（负值舍去）；当，函数在区间上是减函数，所以，，由于最小值和最大值之和6，即：，解得：或﹣3，而，故都舍去.故答案为：2.15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】函数，在上单调递增所以，即实数的取值范围是，故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数．(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【解】(1)由已知可得的定义域为，任取，且，则，因为，，，所以，即，所以在上是单调递增函数．(2)，令，则当时，，所以．令，，则只需．当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，解得；当即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．综上，实数的取值范围是．【素养提升】1．（2022·全国·高三专题练习）已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：，令，，，由，可知，故函数的图象关于原点对称，设的最大值是，则的最小值是，由，令，当时，在，递减，所以的最小值是，的最大值是，故，的最大值与最小值的和是，当时，在，单调递增，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以的最大值是，的最小值是，故，故函数的最大值与最小值之和为8，综上：函数的最大值与最小值之和为8，故选：A．2．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，，，故对任意的，，对任意的，不等式恒成立，即，即对任意的恒成立，且为正数，则，可得，所以，，可得.故选：A.3．（2022·浙江·舟山中学高三阶段练习）已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（       ）A．或B．C．或D．【答案】D【解析】当时，则，，当时，则，，，所以为奇函数，试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因为时为增函数，又为奇函数，为上单调递增函数，的图象如下，由得，所以，即在都成立，即，解得.故选：D.4．（2022·全国·高考真题）设，则（       ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.5．（2022·全国·高三专题练习）要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】因为函数在时恒大于0，所以在时恒成立.令，则.因为，所以.令.因为在上为减函数，所以，即因为恒成立,所以.故答案为：6．（2022·北京·高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.【解】（1）当时，，令由，可得，令，有，可得函数的值域为故函数在上不是有界函数;（2）由题意有，当时，可化为必有且，令，由，可得，由恒成立，可得，令，可知函数为减函数，有，由恒成立，可得故若函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为.试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第14页，共1页学科网（北京）股份有限公司