【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第二篇 第4讲 指数与指数函数 理 湘教版
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第4讲指数与指数函数A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·山东)若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为( ).A.0B.C.1D.解析 由题意有3a=9,则a=2,∴tan=tan=.答案 D2.(2022·天津)已知a=21.2,b=-0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( ).A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a解析 a=21.2>2,而b=-0.8=20.8,所以1<b<2,c=2log52=log54<1,所以c<b<a.答案 A3.(2022·酉阳模拟)不论a为何值时,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是( ).A.B.C.D.解析 y=(a-1)2x-=a-2x,令2x-=0,得x=-1,则函数y=(a-1)2x-恒过定点.答案 C4.定义运算:a*b=如1]( ).A.RB.(0,+∞)5\nC.(0,1]D.[1,+∞)解析 f(x)=2x*2-x=∴f(x)在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴0<f(x)≤1.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·太原模拟)已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有<0成立,则a的取值范围是________.解析 对任意x1≠x2,都有<0成立,说明函数y=f(x)在R上是减函数,则0<a<1,且(a-3)×0+4a≤a0,解得0<a≤.答案 6.若函数f(x)=则函数y=f(f(x))的值域是________.解析 当x>0时,有f(x)<0;当x<0时,有f(x)>0.故f(f(x))==而当x>0时,-1<-2-x<0,则<2-2-x<1.而当x<0时,-1<-2x<0,则-1<-2-2x<-.则函数y=f(f(x))的值域是∪答案 ∪三、解答题(共25分)7.(12分)已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)在R上为增函数.(1)解 因为函数f(x)的定义域为R,且f(x)==1-,所以f(-x)+f(x)=+=2-=2-=2-=2-2=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)证明 设x1,x2∈R,且x1<x2,有5\nf(x1)-f(x2)=-=,∵x1<x2,2x1-2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0,∴f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在R上是增函数.8.(13分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)解关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.解 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)知=-.解得a=2.(2)由(1)知f(x)==-+.由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).又因为f(x)是奇函数,所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1).因为f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+1,即3t2-2t-1>0,解不等式可得.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数f(x)=ax+logax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为( ).A.B.C.2D.4解析 由题意知f(1)+f(2)=loga2+6,即a+loga1+a2+loga2=loga2+6,a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍).答案 C2.若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)=loga(x+k)的图象是下图中的( ).5\n解析 函数f(x)=(k-1)ax-a-x为奇函数,则f(0)=0,即(k-1)a0-a0=0,解得k=2,所以f(x)=ax-a-x,又f(x)=ax-a-x为减函数,故0<a<1,所以g(x)=loga(x+2)为减函数且过点(-1,0).答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知函数f(x)=且f(f(1))>3a2,则a的取值范围是________.解析 由已知得f(1)=21+1=3,故f(f(1))>3a2⇔f(3)>3a2⇔32+6a>3a2.解得-1<a<3.答案 (-1,3)4.已知f(x)=x2,g(x)=x-m,若对∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________.解析 x1∈[-1,3]时,f(x1)∈[0,9],x2∈[0,2]时,g(x2)∈,即g(x2)∈,要使∀x1∈[-1,3],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),只需f(x)min≥g(x)min,即0≥-m,故m≥.答案 三、解答题(共25分)5.(12分)定义在[-1,1]上的奇函数f(x),已知当x∈[-1,0]时,f(x)=-(a∈R).(1)求f(x)在[0,1]上的最大值;(2)若f(x)是[0,1]上的增函数,求实数a的取值范围.解 (1)设x∈[0,1],则-x∈[-1,0],f(-x)=-=4x-a·2x,∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=a·2x-4x,x∈[0,1].令t=2x,t∈[1,2],∴g(t)=a·t-t2=-2+,当≤1,即a≤2时,g(t)max=g(1)=a-1;当1<<2,即2<a<4时,g(t)max=g=;当≥2,即a≥4时,g(t)max=g(2)=2a-4.5\n综上,当a≤2时,f(x)的最大值为a-1;当2<a<4时,f(x)的最大值为;当a≥4时,f(x)的最大值为2a-4.(2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数,∴f′(x)=aln2×2x-ln4×4x=2xln2·(a-2×2x)≥0,∴a-2×2x≥0恒成立,∴a≥2×2x.∵2x∈[1,2],∴a≥4.6.(13分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解 (1)当x<0时,f(x)=0,无解;当x≥0时,f(x)=2x-,由2x-=,得2·22x-3·2x-2=0,看成关于2x的一元二次方程,解得2x=2或-,∵2x>0,∴x=1.(2)当t∈[1,2]时,2t+m≥0,即m(22t-1)≥-(24t-1),∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1),∵t∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5],故m的取值范围是[-5,+∞).5
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