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【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第二篇 第6讲 幂函数与二次函数 理 湘教版

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第6讲幂函数与二次函数A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·临州质检)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(  ).A.y=(x∈R,且x≠0)B.y=x(x∈R)C.y=x(x∈R)D.y=-x3(x∈R)解析 对于f(x)=-x3,∵f(-x)=-(-x)3=-(-x3)=-f(x),∴f(x)=-x3是奇函数,又∵y=x3在R上是增函数,∴y=-x3在R上是减函数.答案 D2.(2022·巴南区模拟)如图所示,给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是(  ).A.①y=x,②y=x2,③y=x,④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y=x,④y=x-1C.①y=x2,②y=x3,③y=x,④y=x-1D.①y=x3,②y=x,③y=x2,④y=x-1解析 因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故应为图①;y=x2为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项B正确.答案 B3.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为(  ).A.[2-,2+]B.(2-,2+)C.[1,3]D.(1,3)5\n解析 f(a)=g(b)⇔ea-1=-b2+4b-3⇔ea=-b2+4b-2成立,故-b2+4b-2>0,解得2-<b<2+.答案 B4.已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于(  ).A.-3B.-1C.1D.3解析 f(a)+f(1)=0⇔f(a)+2=0⇔或解得a=-3.答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)5.若f(x)是幂函数,且满足=3.则f=________.解析 设f(x)=xα,由=3,得=3,解得α=log23,故f(x)=xlog23,所以f=log23=2-log23=2log2=.答案 6.若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满足的条件是________.解析 由已知得⇒答案 a>0,ac=4三、解答题(共25分)7.(12分)设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1时,y=f(x)的表达式是幂函数,且经过点.求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表达式.解 设在[-1,1)上,f(x)=xn,由点在函数图象上,求得n=3.令x∈[2k-1,2k+1),则x-2k∈[-1,1),∴f(x-2k)=(x-2k)3.又f(x)周期为2,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3.即f(x)=(x-2k)3(k∈Z).8.(13分)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a>1).(1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.解 (1)∵f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1),∴f(x)在[1,a]上是减函数.又定义域和值域均为[1,a]5\n∴即解得a=2.(2)∵f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,∴a≥2.又x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2.∵对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,∴f(x)max-f(x)min≤4,得-1≤a≤3,又a≥2,∴2≤a≤3.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2022·黔江模拟)已知函数f(x)=则“a≤-2”是“f(x)在R上单调递减”的(  ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 若a≤-2,则-≥1,且-≤<1,则f(x)分别在区间(-∞,1]和(1,+∞)上为减函数,又函数在x=1处的值相同,故f(x)在R上单调递减,若f(x)在R上单调递减,则a<0,且得a≤-2.故选C.答案 C2.二次函数f(x)=ax2+bx+c,a为正整数,c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值是(  ).A.3B.4C.5D.6解析 由题意得f(0)=c≥1,f(1)=a+b+c≥1.当a越大,y=f(x)的开口越小,当a越小,y=f(x)的开口越大,而y=f(x)的开口最大时,y=f(x)过(0,1),(1,1),则c=1,a+b+c=1.a+b=0,a=-b,-=,又b2-4ac>0,a(a-4)>0,a>4,由于a为正整数,即a的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知函数f(x)=loga(x2-ax+2)在(2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围为________.解析 函数f(x)=loga(x2-ax+2)在(2,+∞)上为增函数,包含两个方面:函数g(x)=x2-ax+2在(2,+∞)上恒正,以及其在(2,+∞)上的单调性.由于g(x)=x2-ax+2开口向上,因此在(2,+∞)上只能是增函数,所以∴1<a≤3.答案 (1,3]4.(2022·北京)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件:5\n①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0,则m的取值范围是________.解析 当x<1时,g(x)<0,当x>1时,g(x)>0,当x=1时,g(x)=0,m=0不符合要求;当m>0时,根据函数f(x)和函数g(x)的单调性,一定存在区间[a,+∞)使f(x)≥0且g(x)≥0,故m>0时不符合第①条的要求;当m<0时,如图所示,如果符合①的要求,则函数f(x)的两个零点都得小于1,如果符合第②条要求,则函数f(x)至少有一个零点小于-4,问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点,其中较大的零点小于1,较小的零点小于-4,函数f(x)的两个零点是2m,-(m+3),故m满足或解第一个不等式组得-4<m<-2,第二个不等式组无解,故所求m的取值范围是(-4,-2).答案 (-4,-2)三、解答题(共25分)5.(12分)已知函数f(x)=x-k2+k+2(k∈Z)满足f(2)<f(3).(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式;(2)对于(1)中得到的函数f(x),试判断是否存在q>0,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.解 (1)∵f(2)<f(3),∴f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又∵k∈Z,∴k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,∴f(x)=x2.(2)假设存在q>0满足题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点处取得.而-g(-1)=-(2-3q)=≥0,∴g(x)max==,g(x)min=g(-1)=2-3q=-4.解得q=2,∴存在q=2满足题意.6.(13分)设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为实数).(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.解 (1)∵函数f(x)是偶函数,5\n∴f(-x)=f(x),即|2x-a|=|2x+a|,解得a=0.(2)f(x)=①当x≥a时,f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1),由a>2,x≥a,得x>1,故f(x)在时单调递增,f(x)的最小值为f=;②当x<a时,f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1),故当1<x<时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,则f(x)的最小值为f(1)=a-1.由于-(a-1)=>0,故f(x)的最小值为a-1.5

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发布时间:2022-08-26 00:38:49 页数:5
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文章作者:U-336598

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