（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第二篇 函数与基本初等函数《第8讲　幂函数与二次函数》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第二篇函数与基本初等函数《第8讲　幂函数与二次函数》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析　由题意，y＝|x＋a|是偶函数，所以a＝0.答案　02．设函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．解析　a＝0显然成立．a≠0时，二次函数对称轴为x＝－，所以a＜0且－≥4，解得－≤a＜0，综上，得－≤a≤0.答案　3．已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝________.解析　设f(x)＝xm，g(x)＝xn，则由2＝()m得m＝2，由＝(－2)n，得n＝－2，所以f(2)＋g(－1)＝22＋(－1)－2＝5.答案　54．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式是________．解析　由f(0)＝1可设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，代入f(x＋1)－f(x)＝2x可得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，a＋b＝0，从而b＝－1，f(x)＝x2－x＋1.答案　f(x)＝x2－x＋15．(2010·泰州测试)a＝________时，函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]．解析　f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a＜－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，7\n所以⇒a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，⇒a＝－1；当0＜a≤1时，⇒a不存在；当a＞1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，所以⇒a不存在．综上可得a＝－1.答案　－16．设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝________.解析　首先作出当x≤1时，y＝x2＋1的图象，如图所示，则关于x＝1与之对称部分仍是抛物线，顶点为(2,1)，于是当x＞1时，y＝(x－2)2＋1，即y＝x2－4x＋5.答案　x2－4x＋57．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．解析　由题设y＝a(x－6)2＋11，过点(4,7)，得a＝－1.∴y＝－(x－6)2＋11，则每年平均利润为＝－＋12≤－10＋12，当且仅当x＝5时，取“＝”．答案　5二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知函数f(x)＝x|x－2|.(1)写出f(x)的单调区间；(2)解不等式f(x)＜3；(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．解　(1)f(x)的图象如图所示，所以f(x)的增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，减区间为[1,2]．7\n(2)当x＝3时，f(3)＝3，所以f(x)＜3的解集为(－∞，3)．(3)因为0＜a≤2，所以当0＜a≤1时，f(x)在[0，a]上的最大值为f(x)max＝f(a)＝2a－a2；当1＜a≤2时，f(x)在[0，a]上的最大值为f(x)max＝1.综上，得f(x)max＝9．f(x)＝－x2＋ax＋－在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值．解　f(x)＝－2＋－＋.①当∈[0,1]，即0≤a≤2时，f(x)max＝－＋＝2，则a＝3或a＝－2，不合题意．②当＞1时，即a＞2时，f(x)max＝f(1)＝2⇒a＝.③当＜0时，即a＜0时，f(x)max＝f(0)＝2⇒a＝－6.综上，f(x)在区间[0,1]上的最大值为2时a＝或－6.10．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)＜b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围．解　(1)∃x∈R，f(x)＜bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b＜0⇒(－b)2－4b＞0⇒b＜0或b＞4.(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.①当Δ≤0，即－≤m≤时，则必需⇒－≤m≤0.②当Δ＞0，即m＜－或m＞时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1＜x2)．若≥1，则x1≤0，即⇒m≥2；7\n若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤m＜－；综上所述：实数m的取值范围是[－1,0]∪[2，＋∞)B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．设f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析　当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝3＋2a，于是由a≤f(x)min，得a≤3＋2a⇒a≥－3，所以－3≤a≤－1；当a＞－1时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，于是由a≤f(x)min，得a≤2－a2⇒－2≤a≤1，所以，－1＜a≤1.综上，得－3≤a≤1.答案　[－3,1]2．已知函数y＝f(x)满足；①f(0)＝1；②f(x＋1)－f(x)＝2x，则＝________.解析　f(n＋1)＝[f(n＋1)－f(n)]＋[f(n)－f(n－1)]＋…＋[f(1)－f(0)]＋f(0)＝2[n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n(n＋1)＋1，答案　3．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析　设二次函数的解析式为：f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7.7\n∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.答案　f(x)＝－4x2－12x＋404．由方程2x|x|－y＝1所确定的x，y的函数关系记为y＝f(x)．给出如下结论：①f(x)是R上的单调递增函数；②对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝－2恒成立；③存在x0∈(－1,0)，使得过点A(1，f(1))，B(x0，f(x0))的直线与曲线y＝f(x)恰有两个公共点．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．解析　y＝2x|x|－1的图象如图所示，所以①②显然正确，取x0＝－，则过点A(1,1)，B的直线与曲线y＝f(x)有两个交点．答案　①②③5．(2011·泰州市模拟)已知函数f(x)＝|2x－3|，若0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，则T＝3a2＋b的取值范围为________．解析　由0＜2a＜b＋1，且f(2a)＝f(b＋3)，得0＜2a≤≤b＋3，于是由|4a－3|＝|2b＋3|，得3－4a＝2b＋3，所以b＝－2a，∴2a＜－2a＋1，a＜所以T＝3a2＋b＝3a2－2a＝3＝32－.又0＜2a≤，所以0＜a≤，所以T∈.答案　6．(2010·苏州市模拟)给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________．解析　命题①显然正确；只有当α>0时幂函数的图象才能经过原点(0,0)，若α7\n<0，则幂函数的图象不过原点，故命题②错误；函数y＝x就是一个非奇非偶函数，故命题③错误；由于在y＝xα(α∈R)中，只要x>0，必有y>0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故命题④正确，命题⑤也正确；幂函数y＝x3在(－∞，0)上是递增函数，故命题⑥错误．因此正确的说法有①④⑤.答案　①④⑤二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·盐城市检测)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M，m，集合A＝{x|f(x)＝x}．(1)若A＝{1,2}，且f(0)＝2，求M和m的值；(2)若A＝{1}，且a≥1，记g(a)＝M＋m，求g(a)的最小值．解　(1)由f(0)＝2可知c＝2.又A＝{1,2}，故1,2是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两实根．所以解得a＝1，b＝－2.所以f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝1，即m＝1.当x＝－2时，f(x)max＝f(－2)＝10，即M＝10.(2)由题意知，方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两相等实根x＝1.所以即所以f(x)＝ax2＋(1－2a)x＋a，x∈[－2,2]，其对称轴方程为x＝＝1－.又a≥1，故1－∈.所以M＝f(－2)＝9a－2.m＝f＝1－.g(a)＝M＋m＝9a－－1.又g(a)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a＝1时，g(a)min＝.8．(2011·南通无锡调研)已知≤a≤1，若f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．7\n(1)求g(a)的函数表达式；(2)判断g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值．解　(1)函数f(x)＝ax2－2x＋1的对称轴为直线x＝，而≤a≤1，所以1≤≤3.所以f(x)在[1,3]上N(a)＝f＝1－.①当1≤≤2时，即≤a≤1时，M(a)＝f(3)＝9a－5.②当2＜≤3时，即≤a＜时，M(a)＝f(1)＝a－1.所以g(a)＝M(a)－N(a)＝(2)g(a)在上单调递增，g(a)＝a＋－2，≤a＜，在上单调递减，故g(a)min＝g＝.7