（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第二篇 函数与基本初等函数《第9讲　指数与指数函数》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第二篇函数与基本初等函数《第9讲　指数与指数函数》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·山东省莱芜检测)函数y＝的定义域是________．解析　由8－4x≥0，得22x≤23，所以2x≤3，x≤.答案　2．(2011·南京市模拟)函数y＝的值域是________．解析　由4－2－x≥0，且2－x＞0，得0≤4－2x＜4，所以y∈[0,2)．答案　[0,2)3．已知p：关于x的不等式|x－1|＋|x－3|＜m有解，q：f(x)＝(7－3m)x为减函数，则p成立是q成立的________条件．解析　p成立，得m＞|x－1＋3－x|＝2；q成立，得0＜7－3m＜1，即2＜m＜.设A＝{m|m＞2}，B＝，则BA，所以p是q的必要不充分的条件．答案　必要不充分4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)＝________.解析　因为f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝f(x)，所以f(log6)＝f(－log26)＝－f(log26)＝－f(log26－2)＝－f＝1－2log2＝1－＝－.答案　－5．(2011·南京模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2010)＝________.解析　当x＞0时，f(2010)＝f(2009)－f(2008)＝f(2008)－f(2007)－f(2008)＝－f(2007)＝f(2005)－f(2006)＝f(2005)－f(2005)＋f(2004)＝f(2004)，所以f(x)是以T7\n＝6的周期函数，所以f(2010)＝f(335×6)＝f(0)＝3－1＝.答案　6．已知函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则g(0)，g(2)，g(3)的大小关系是________．解析　因为f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以由f(－x)－g(－x)＝e－x，得－f(x)－g(x)＝e－x，与f(x)－g(x)＝ex联立，求得f(x)＝(ex－e－x)，g(x)＝－(ex＋e－x)，所以g(3)＜g(2)＜g(0)．答案　g(3)＜g(2)＜g(0)7．已知1＋2x＋4x·a＞0对一切x∈(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析　由题意，得a＞－x－x对x≤1恒成立，因为f(x)＝－x－x是(－∞，1]上的增函数，所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－，所以a＞－.答案　二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知函数f(x)＝2x－(x∈R)．(1)讨论f(x)的单调性与奇偶性；(2)若2xf(2x)＋mf(x)≥0对任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．解　(1)由f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x)知f(x)是奇函数．由2x与－2－x是(－∞，＋∞)上的增函数，得f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数．(2)当x∈[0，＋∞)时，2x＋m≥0，即≥0恒成立，因为x≥0时，2x－≥0，所以22x＋1＋m≥0，m≥－(22x＋1)，所以m≥－|20＋1|＝－2.9．(2010·广东惠州)定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．7\n解　(1)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.所以a＝2，b＝1.(2)法一　由(1)知f(x)＝＝－＋，由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.法二　由(1)知f(x)＝.又由题设条件得＋<0，即(22t2－k＋1＋2)·(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)·(－22t2－k＋1)<0，整理得23t2－2t－k>1.因底数2>1，故3t2－2t－k>0，即上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.10．已知f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)．(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x∈[－1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围．解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又因为f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数，从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数．当0<a<1时，a2－1<0，y＝ax为减函数，y＝a－x为增函数，从而y＝ax－a－x为减函数，所以f(x)为增函数．7\n故当a>0，且a≠1时，f(x)在定义域内单调递增．(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数．所以f(－1)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)min＝f(－1)＝(a－1－a)＝·＝－1，所以要使f(x)≥b在[－1,1]上恒成立，则只需b≤－1，故b的取值范围是(－∞，－1]．B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·山东省菏泽测试)设函数f(x)＝，若f(x)是奇函数，则g(2)的值是________．解析　因为f(x)是奇函数，所以g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－.答案　－2．已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________．解析　若x＞0，则由log3x≥1，得x≥3.若x≤0，则由x≥1，得x≤0.综上，得x≤0或x≥3.答案　(－∞，0]∪[3，＋∞)3．若2|x＋1|－|x－1|≥2，则x取值范围是________．解析　由2|x＋1|－|x－1|≥2＝2，得|x＋1|－|x－1|≥，于是由或或解得x≥.答案　4．(2011·山东省济宁市模拟)已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋1对x∈(0，＋∞)的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是________．7\n解析　设t＝3x＞1问题转化为m＜，t∈(1，＋∞)，即m比函数y＝，t∈(1，＋∞)的最小值还小，又y＝＝t－1＋＋2≥2＋2＝2＋2，所以m＜2＋2.答案　(－∞，2＋2)5．对于函数f(x)＝ex－e－x(x∈R)，有下列结论：①f(x)的值域是R；②f(x)是R上的增函数；③对任意x∈R，有f(－x)＋f(x)＝0成立；④若方程|f(x)|＝a有两个相异实根，则a≥0，其中所有正确的命题序号是________．解析　因为e＞1，x∈R，所以f(x)是奇函数且在(－∞，＋∞)上单调递增，所以①②③均正确．设y＝|f(x)|＝|ex－e－x|，y＝a，画出其图象可知，当a＞0时，它们有两个相异交点，所以④不正确．答案　①②③6．设函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上的取值恒不为0，且对任意实数x，y满足f(xy)＝[f(x)]y，f＞1.若a＞b＞c且a，b，c成等差数列，则f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系是________．解析　因为f(x)＝f＝2x＝x是增函数，于是由f(a)＋f(c)≥2[f(a)·f(c)]＝2[f(a)][f(c)]＝2f·f＝2a·c＝2a＋c＝22b＝2f(b)，及a＞b＞c得f(a)＋f(c)＞2f(b)．答案　f(a)＋f(c)＞2f(b)二、解答题(每小题15分，共30分)7．如果函数f(x)＝ax(ax－3a2－1)(a＞0，a≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解　法一　设ax＝t，g(t)＝t2－(3a2＋1)t，对称轴t＝7\n当a＞1时，t＝ax是增函数，且当x≥0时，t≥1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g(t)＝t2－(3a2＋1)t在[1，＋∞)上递增，所以t＝≤1，解得0≤a≤(舍去)．当0＜a＜1时，t＝ax是减函数，且x≥0时，0＜t≤1，要使原函数在[0，＋∞)上递增，只要g(x)＝t2－(3a2＋1)t在(0,1]上递减，所以t＝≥1，解得≤a＜1.综上，得≤a＜1.法二　设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则由f(x)＝ax(ax－3a2－1)在[0，＋∞)上递增，得a2x1－(3a2＋1)ax1＜a2x2－(3a2＋1)ax2，即(ax1－ax2)[ax1＋ax2－(3a2＋1)]＜0.若0＜a＜1，则由0＜ax2＜ax1＜1，得ax1＋ax2－(3a2＋1)＜0,3a2＋1＞ax1＋ax2恒成立，所以3a2＋1≥2，解得≤a＜1.若a＞1，则由ax2＞ax1＞1，得3a2＋1＜ax1＋ax2恒成立．所以3a2＋1≤2，解得a＜(不合，舍去)．综上，得≤a＜1.8．(2010·丹阳中学检测)设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0且a≠1)是奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)＞0解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0；(3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．解　(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，k＝1.(2)因为f(1)＞0，所以a－＞0，即a＞1，所以f(x)＝ax－a－x是R上的单调增函数．于是由f(x2＋2x)＞－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，解得x＜－4或x＞1.(3)因为f(1)＝，所以a－＝，解得a＝2(a＞0)，所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.设t＝f(x)＝2x－2－x，则由x≥1，得t≥f(1)＝，g(x)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.若m≥，则当t＝m时，ymin＝2－m2＝－2，解得m＝2.7\n若m＜，则当t＝时，ymin＝－3m＝－2，解得m＝(舍去)．综上，得m＝2.7