（江苏专用）2023高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第二篇 函数与基本初等函数《第10讲　对数与对数函数》理（含解析） 苏教版

2013高考总复习江苏专用（理科）：第二篇函数与基本初等函数《第10讲　对数与对数函数》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级　基础达标演练(时间：45分钟　满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．函数f(x)＝的定义域是________．解析　由，得所以x≥2.答案　{x|x≥2}2．设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则a，b，c大小关系为________．解析　a＝log2＝－log32＜0，b＝log＝log23＞1，c＝0.3∈(0,1)，所以a＜c＜b.答案　a＜c＜b3．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝lnx，c＝elnx，则a，b，c的大小关系是________．解析　由＜x＜1，得a＝lnx∈(－1,0)，从而b＝lnx＞elnx＝c＞0，所以b＞c＞a.答案　b＞c＞a4．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD的位置关系是________．解析　由题意，得A(2,1)，B(4,2)，C(2，lg2)，D(4,2lg2)，所以直线AB与CD都经过(0,0)，从而AB与CD相交于原点．答案　相交　且交点在坐标原点5．已知函数对任意的x∈R有f(x)＝f(－x)，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为________．解析　由f(x)＝f(－x)得f(x)是偶函数，得图象关于y轴对称．再由x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象沿y轴翻折可得．答案6\n6．(2011·南京市南师大附中模拟)已知函数f(x)＝若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．解析　画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f(3－2a2)＞f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－或a＞1.答案　∪(1，＋∞)7．(2011·山东省济南外国语学校检测)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为________．解析　f(－2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.答案　1二、解答题(每小题15分，共45分)8．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．解　(1)由题设，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，a>0且a≠1，又a>0，故g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数，从而g(2)＝3－2a>0，所以a<，所以a的取值范围为(0,1)∪.(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，得a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．9．(2011·泰州市学情调查)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1)求k的值；6\n(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．解　(1)由函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)．所以log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，即log4＝－2kx.所以log44x＝－2kx.所以x＝－2kx对x∈R恒成立．所以k＝－.(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x，所以m＝log4＝log4.因为2x＋≥2，所以m≥.故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范围是m≥.10．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．解　(1)因为所以－1＜x＜1，所以f(x)的定义域为(－1,1)．(2)f(x)为奇函数．因为f(x)定义域为(－1,1)，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)因为当a＞1时，f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f(x)＞0⇔＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范围是(0,1)．B级　综合创新备选(时间：30分钟　满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(★)(2011·绍兴模拟)函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间是________．6\n解析　(等价转化法)设t＝x2－2x－3，则y＝logt.由t＞0解得x＜－1或x＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．又t＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．而函数y＝logt为关于t的减函数，所以，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)．答案　(－∞，－1)【点评】本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制．2．(2011·山东省莱芜市检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lgx2a－ba＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b)试将错误的对数值加以改正________．解析　由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)从而lg3和lg9正确，假设lg5＝a＋c－1错误，则由得所以lg5＝1－lg2＝a＋c.因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.答案　lg5＝a＋c3．(2011·山东省济宁模拟)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上递增，f＝0，则满足f(logx)＞0的x的取值范围是________．解析　由f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，得f(|logx|)＞f，于是|logx|＞解0＜x＜或x＞2.答案　∪(2，＋∞)4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是________．解析　画图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由f(2－x2)＞f(x)，得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.答案　(－2,1)5．设min{p，q}表示p，q两者中的较小者，若函数f(x)＝min{3－x，log2x}，则满足f(x)＜的集合为________．6\n解析　画出y＝f(x)的图象，且由log2x＝，得x＝；由3－x＝，得x＝.从而由f(x)＜，得0＜x＜或x＞.答案　(0，)∪6．(2010·课标全国改编)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．解析　a、b、c互不相等，不妨设a<b<c，由f(a)＝f(b)＝f(c)，及图象可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.因为f(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|，所以lga＝－lgb，即lga＝lg⇒a＝，所以ab＝1,10<abc＝c<12.答案　(10,12)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f(x)＝x＋log3.(1)求f(x)＋f(4－x)的值；(2)猜想函数f(x)的图象具有怎样的对称性，并证明你的结论．(1)解　f(x)＋f(4－x)＝x＋log3＋4－x＋log3＝4＋log3＋log3＝4.(2)f(x)图象关于点P(2,2)对称．证明　设Q(x，y)为函数f(x)＝x＋log3图象上任一点，设点Q关于点P(2,2)的对称点为Q1(x1，y1)，则即所以f(x1)＝x1＋log3＝4－x＋log3＝4－x－log3＝4－y＝y1，所以函数y＝f(x)图象关于点P(2,2)对称．6\n8．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立．已知当x∈[1,2]时，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．(1)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，函数f(x)的解析式；(3)若函数f(x)的最大值为，在区间[－1,3]上，解关于x的不等式f(x)>.解　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函数得f(x＋2)＝f(x)＝(2)当x∈[2k－1,2k]时，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)．同理，当x∈(2k,2k＋1]时，f(x)＝loga(2－x＋2k)．所以f(x)＝(k∈Z)．(3)由于函数以2为周期，故考察区间[－1,1]．若a>1，loga2＝，即a＝4.若0<a<1，则loga(2－1)＝0≠，舍去，故a＝4.由(2)知所求不等式的解集为(－2＋，2－)∪(，4－)．6