【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第二篇 第5讲 对数与对数函数 理 湘教版
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第5讲对数与对数函数A级 基础演练(时间:30分钟 满分:55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2022·天津)已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=log30.3则( ).A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b解析 ∵log30.3=5log3,1<log23.4<2,0<log43.6<1,1<log3<2,又log23.4>log2>log3,∴log23.4>log3>log43.6,∴5log23.4>5log3>5log43.6,故选C.答案 C2.(2022·徐州模拟)若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是( ).A.0<a<1B.0<a<2,a≠1C.1<a<2D.a≥2解析 因为y=x2-ax+1是开口向上的二次函数,从而有最小值,故要使函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a>1,且>0,得1<a<2,故选C.答案 C3.(2022·九江质检)若函数f(x)=loga(x+b)的大致图象如图所示,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的大致图象是( ).解析 由已知函数f(x)=loga(x+b)的图象可得0<a<1,0<b<1.则g(x)=ax+b的图象由y=ax的图象沿y轴向上平移b个单位而得到,故选B.答案 B6\n4.若函数f(x)=loga(x2-ax+3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1,x2,当x1<x2≤时,f(x1)-f(x2)>0,则实数a的取值范围为( ).A.(0,1)∪(1,3)B.(1,3)C.(0,1)∪(1,2)D.(1,2)解析 “对任意的x1,x2,当x1<x2≤时,f(x1)-f(x2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(x)有意义”.事实上由于g(x)=x2-ax+3在x≤时递减,从而由此得a的取值范围为(1,2).故选D.答案 D二、填空题(每小题5分,共10分)5.函数y=log(3x-a)的定义域是,则a=________.解析 由3x-a>0得x>.因此,函数y=log(3x-a)的定义域是,所以=,a=2.答案 26.对任意非零实数a,b,若a⊗b的运算原理如图所示,则(log8)⊗-2=________.解析 框图的实质是分段函数,log8=-3,-2=9,由框图可以看出输出=-3.答案 -3.三、解答题(共25分)7.(12分)已知函数f(x)=log(a2-3a+3)x.(1)判断函数的奇偶性;6\n(2)若y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求a的取值范围.解 (1)函数f(x)=log(a2-3a+3)x的定义域为R.又f(-x)=log(a2-3a+3)-x=-log(a2-3a+3)x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.(2)函数f(x)=log(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为减函数,则y=(a2-3a+3)x在(-∞,+∞)上为增函数,由指数函数的单调性,知a2-3a+3>1,解得a<1或a>2.所以a的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞).8.(13分)已知函数f(x)=-x+log2.(1)求f+f的值;(2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1),a是常数时,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由.解 (1)由f(x)+f(-x)=log2+log2=log21=0.∴f+f=0.(2)f(x)的定义域为(-1,1),∵f(x)=-x+log2(-1+),当x1<x2且x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数,∴当a∈(0,1),x∈(-a,a]时f(x)单调递减,∴当x=a时,f(x)min=-a+log2.B级 能力突破(时间:30分钟 满分:45分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.函数f(x)=lg(ax+4a-x-m)(a>0且a≠1)的定义域为R,则m的取值范围为( ).A.(0,4]B.(-∞,4)C.(-∞,4]D.(1,4]6\n解析 由于函数f(x)的定义域是R,所以ax+-m>0恒成立,即m<ax+恒成立,由基本不等式知只需m≤4.答案 C2.已知函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( ).A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)解析 作出函数f(x)=|lgx|的图象,由f(a)=f(b),0<a<b知0<a<1<b,-lga=lgb,∴ab=1,∴a+2b=a+,由函数y=x+的单调性可知,当0<x<1时,函数单调递减,∴a+2b=a+>3.故选C.答案 C二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=________.解析 由图象可求得a=2,b=2,又易知函数y=logc的图象过点(0,2),进而可求得c=,所以a+b+c=2+2+=.答案 4.对于任意实数x,符号[x]表示x的整数部分,即[x]是不超过x的最大整数.在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点,当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”,它在数学本身和生产实践中有广泛的应用.那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=________.解析 当1≤n≤2时,[log3n]=0,当3≤n<32时,[log3n]=1,…,当3k≤n<3k+1时,[log3n]=k.故[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3243]=0×2+1×(32-3)+2×(33-32)+3×(34-33)+4×(35-34)+5=857.答案 857三、解答题(共25分)5.(12分)若函数f(x)满足对于(0,+∞)上的任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且x>1时f(x)>0,试证:(1)f=f(x)-f(y);6\n(2)f(x)=-f;(3)f(x)在(0,+∞)上递增.证明 (1)由已知f+f(y)=f(x),即f(x)-f(y)=f.(2)令x=y=1,则f(1)=2f(1).因此f(1)=0.∴f(x)+f=f(1)=0,即f(x)=-f.(3)设0<x1<x2,则>1,由已知f>0,即f(x2)-f(x1)>0.因此f(x1)<f(x2),函数f(x)在(0,+∞)上递增.6.(13分)已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1).(1)求函数的定义域,并证明:f(x)=loga在定义域上是奇函数;(2)对于x∈[2,4],f(x)=loga>loga恒成立,求m的取值范围.解 (1)由>0,解得x<-1或x>1,∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f(-x)=loga=loga=loga-1=-loga=-f(x),∴f(x)=loga在定义域上是奇函数.(2)由x∈[2,4]时,f(x)=loga>loga恒成立,①当a>1时,∴>>0对x∈[2,4]恒成立.∴0<m<(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4]则g(x)=-x3+7x2+x-7,g′(x)=-3x2+14x+1=-32+,6\n∴当x∈[2,4]时,g′(x)>0.∴y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)min=g(2)=15.∴0<m<15.②当0<a<1时,由x∈[2,4]时,f(x)=loga>loga恒成立,∴<对x∈[2,4]恒成立.∴m>(x+1)(x-1)(7-x)在x∈[2,4]恒成立.设g(x)=(x+1)(x-1)(7-x),x∈[2,4],由①可知y=g(x)在区间[2,4]上是增函数,g(x)max=g(4)=45,∴m>45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45,+∞).6
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