【创新设计】2022届高考数学一轮总复习 第二篇 第5讲 对数与对数函数 理 湘教版

第5讲对数与对数函数A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·天津)已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝log30.3则(　　)．A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．c>a>b解析　∵log30.3＝5log3，1<log23.4<2,0<log43.6<1,1<log3<2，又log23.4>log2>log3，∴log23.4>log3>log43.6，∴5log23.4>5log3>5log43.6，故选C.答案　C2．(2022·徐州模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)．A．0<a<1B．0<a<2，a≠1C．1<a<2D．a≥2解析　因为y＝x2－ax＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值，故要使函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a>1，且>0，得1<a<2，故选C.答案　C3．(2022·九江质检)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　)．解析　由已知函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可得0<a<1，0<b<1.则g(x)＝ax＋b的图象由y＝ax的图象沿y轴向上平移b个单位而得到，故选B.答案　B6\n4．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a>0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1<x2≤时，f(x1)－f(x2)>0，则实数a的取值范围为(　　)．A．(0,1)∪(1,3)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,2)D．(1,2)解析　“对任意的x1，x2，当x1<x2≤时，f(x1)－f(x2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)．故选D.答案　D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝log(3x－a)的定义域是，则a＝________.解析　由3x－a>0得x>.因此，函数y＝log(3x－a)的定义域是，所以＝，a＝2.答案　26．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log8)⊗－2＝________.解析　框图的实质是分段函数，log8＝－3，－2＝9，由框图可以看出输出＝－3.答案　－3.三、解答题(共25分)7．(12分)已知函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x.(1)判断函数的奇偶性；6\n(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解　(1)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x的定义域为R.又f(－x)＝log(a2－3a＋3)－x＝－log(a2－3a＋3)x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(2)函数f(x)＝log(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a2－3a＋3>1，解得a<1或a>2.所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．8．(13分)已知函数f(x)＝－x＋log2.(1)求f＋f的值；(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．解　(1)由f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0.∴f＋f＝0.(2)f(x)的定义域为(－1,1)，∵f(x)＝－x＋log2(－1＋)，当x1<x2且x1，x2∈(－1,1)时，f(x)为减函数，∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时f(x)单调递减，∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数f(x)＝lg(ax＋4a－x－m)(a>0且a≠1)的定义域为R，则m的取值范围为(　　)．A．(0,4]B．(－∞，4)C．(－∞，4]D．(1,4]6\n解析　由于函数f(x)的定义域是R，所以ax＋－m>0恒成立，即m<ax＋恒成立，由基本不等式知只需m≤4.答案　C2．已知函数f(x)＝|lgx|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是(　　)．A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析　作出函数f(x)＝|lgx|的图象，由f(a)＝f(b)，0<a<b知0<a<1<b，－lga＝lgb，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋，由函数y＝x＋的单调性可知，当0<x<1时，函数单调递减，∴a＋2b＝a＋>3.故选C.答案　C二、填空题(每小题5分，共10分)3．函数f(x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝________.解析　由图象可求得a＝2，b＝2，又易知函数y＝logc的图象过点(0,2)，进而可求得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝.答案　4．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.解析　当1≤n≤2时，[log3n]＝0，当3≤n<32时，[log3n]＝1，…，当3k≤n<3k＋1时，[log3n]＝k.故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.答案　857三、解答题(共25分)5．(12分)若函数f(x)满足对于(0，＋∞)上的任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且x>1时f(x)>0，试证：(1)f＝f(x)－f(y)；6\n(2)f(x)＝－f；(3)f(x)在(0，＋∞)上递增．证明　(1)由已知f＋f(y)＝f(x)，即f(x)－f(y)＝f.(2)令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)．因此f(1)＝0.∴f(x)＋f＝f(1)＝0，即f(x)＝－f.(3)设0<x1<x2，则>1，由已知f>0，即f(x2)－f(x1)>0.因此f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(0，＋∞)上递增．6．(13分)已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)．(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，①当a>1时，∴>>0对x∈[2,4]恒成立．∴0<m<(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]则g(x)＝－x3＋7x2＋x－7，g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－32＋，6\n∴当x∈[2,4]时，g′(x)>0.∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.∴0<m<15.②当0<a<1时，由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，∴<对x∈[2,4]恒成立．∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).6