2023年新高考一轮复习讲义第20讲 利用导数研究不等式的恒成立问题（解析版）

第20讲　利用导数研究不等式的恒成立问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，即，即，即对恒成立，令，则在上单调递增，∵，∴，由即，即，因为在上单调递增，∴故选：B.2．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知且，若任意，不等式均恒成立，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题设，，令，则恒成立，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 令，则，，当时，递减；当时，递增；所以，故递增，当，即时，，不合题意；当，即时，要使恒成立，则恒成立，令且，则，，当时，递减；当时，递增；所以，故在上递增，而，此时时，即恒成立.综上，的取值范围为.故选：A3．（2022·重庆八中模拟预测）已知函，（为自然对数底数，……），若对成立，则实数a的最大值为（       ）A．B．1C．D．【答案】C【解析】解：因为，恒成立，即，所以，，故令，，在上恒成立，所以，在上单调递减，所以，两边取对数得，，即，记，则，所以，当，，单调递减，当时，，单调递增，所以，的最小值是，故，所以，实数a的最大值是．故选：C试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 4．（2022·辽宁沈阳·三模）已知函数的图象恒在的图象的上方，则实数m的取值范围是（       ）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得，故，即令，则单调递增，原不等式可化为，所以，即，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，故，所以.故选：A5．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知为正整数，若对任意，不等式成立，则的最大值为（       ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为对恒成立，令，当时，在上单调递减，时，，不满足题意；当时，恒成立；当时，，所以在上递增，在上递减，，设，，所以在上递减，在上递增，，而成立，成立，，．故选：B.6．（2022·江苏·模拟预测）已知且成立，则（       ）试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，，构造函数，所以在区间递减；在区间递增.若，则，，不符合题意.若，则，，符合题意，若，此时对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.对任意，有两个不同的实数根，则存在，使“且”成立.综上所述，.故选：C7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，若存在实数使不等式成立，则a的取值范围为(       )A．B．C．D．【答案】A【解析】令得，∴，将化简得，令，则，令，∵，∴为增函数，当时，，为增函数，；当时，，为减函数，；试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 因此最小值为1，从而，即．故选：A．8．（2022·浙江绍兴·高三期末）已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（       ）A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，没有最大值C．有最大值，没有最小值D．既没有最小值，也没有最大值【答案】B【解析】变形为：，令（）则上式可化为：，其中，所以（）单调递增，故，即，令，则，当时，，当时，，所以在处取得极大值，也是最大值，故，所以，解得：，综上：有最小值，无最大值.故选：B9．（多选）（2022·广东·模拟预测）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（       ）A．B．C．1D．【答案】AD【解析】设，则，所以在上单调递增，所以，所以，∴，∴．又在上恒成立，所以在上单调递增，所以对恒成立，即恒成立．令，当时，，故，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ∴，解得或，所以a的值可以为，，故选：AD.10．（多选）（2022·湖南·长郡中学模拟预测）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（            ）A．B．C．D．2【答案】ACD【解析】解：由题意，不等于，由，得，令，则，设，则，因为函数在上单词递增，且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，从而，即，解得或.故.故选：ACD.11．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_______________     .【答案】【解析】不等式可化为：，即.记.因为，所以当时，，所以在上单调递增函数，所以当时，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，即.记，则.因为，所以只需在上递增，所以，只需恒成立.因为在单调递减，所以当时，最大，所以.即实数的取值范围为.故答案为：.12．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】因为仅在时取等号，故为R上的单调递增函数，故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，可得，恒成立，，即恒成立，当时，，恒成立，当时，构造函数，恒成立，当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，故需，设，，在，上递增，在，递减，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，故的最小值为，故答案为：13．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】易知，将原不等式变形：，，可得，即，其中.设，则，原不等式等价于.当时，原不等式显然成立；当时，因为在上递增，恒成立，设，则，所以在递减，递增，所以的最小值为，故.故答案为：14．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数，…），当时，函数在点处的切线方程为____________；若对）成立，则实数a的最大值为____________.【答案】        【解析】由题意当时，，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 则，，所以函数在点处的切线方程为，即.因为，，即，则，令，，在上恒成立，故在上单调递减，故，得，即，记，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是.故答案为：；.15．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知函数(1)请讨论函数的单调性(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围【解】(1)当时，在上递增当时，在，单调递减在上，单调递增(2)原式等价于设，由（1）当时，为增函数，，∴等式等价于恒成立，时，成立，时，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 设，，，设，所以在上为增函数，又因为，所以在上，，，为减函数，在上，，，为增函数，，．16．（2022·山东临沂·三模）已知函数，其图象在处的切线过点．(1)求a的值；(2)讨论的单调性；(3)若，关于x的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．【解】(1)解：因为函数，所以，，则，所以函在处的切线方程为，又因为切线过点，所以，即，解得；(2)由（1）知；，则，令，则，当时，，当时，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以即当时，，当时，，所以在上递增，在上递增；(3)因为x的不等式在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，因为在上递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以.17．（一题多解）（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)是否存在实数a，使对恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.【解】(1)因为，所以，即.当时，，令，则，所以在单调递增，因为，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，当时，，；当时，，，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)法一：设，则，①当时，，，即，故不符合题意.②当时，当时，.·令，即，取，则，即，.故不符合题意.③当时，令，，则，故在单调递增.因为，，所以存在唯一的使得，所以，时，，；时，，，故在单调递减，在单调递增.所以的最小值为，因为，即，两边取对数得，所以.令，则，所以在单调递增，在单调递减，故，当且仅当时，等号成立，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故当且仅当时，在恒成立，综上，存在a符合题意，.法二：设，则，设，易知在单调递增，①当时，因为，，所以存在唯一，使得，即，.所以当，，即，单调递减；当，，即，单调递增.故，即，符合题意.②当时，，，所以存在唯一，使得，所以当，，即，单调递减，故，即，故不符合题意.③当时，，，所以存在唯一，使得，所以当，，即.所以在单调递增，故，即，故不符合题意.④当时，，不符合题意.⑤当时，，不符合题意.综上，存在a符合题意，.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 法三：①当时，，故在上单调递增.因为在单调递增，且，，故存在唯一，使得，即，即，故，所以任意，都有.故不符合题意.②当时，，对于函数，.所以时，；时，.所以在单调递减，在单调递增，故，所以，故，故符合题意.③当且时，对于函数，因为在单调递增，且，，所以存在，使得，即，所以.令，则，故在单调递增，在单调递减.故，当且仅当时，“=”成立.所以当时，，即，，故不符合题意.综上，存在a符合题意，.法四：设，，易知在单调递增.又当时，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 ，所以的值域为；当时，的值域为.所以的值域为.故对于上任意一个值，都有唯一的一个正数，使得.因为，即.设，，所以要使，只需.当时，因为，即，所以不符合题意.当时，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增.所以.设，，则，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减.所以，所以，，当且仅当时，等号成立.又因为，所以，所以.综上，存在a符合题意，.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【素养提升】1．（2022·广东广州·三模）对于任意都有，则的取值范围为（       ）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，所以转化为：，令，，①当时，，所以在上单调递增，所以，所以.②当时，您，所以，（i）当即时，，所以在上单调递增，，所以.(ii)当即时，在上单调递减，在上单调递增，，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 所以，所以.综上，的取值范围为：.故选：B.2．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知，函数，当x＞1时，恒成立，则实数的最小值为（       ）A．B．C．D．1【答案】D【解析】解：因为x＞1时，恒成立，所以在x＞1时，恒成立，即，在x＞1时，恒成立，令，则，又，当时，即，因为，，，不成立；当时，即，则所以在上递增，则，所以在上递增，所以，解得，实数的最小值为1，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故选：D3．（2022·山东聊城·三模）已知函数（且），若对任意的，，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】解：因为函数（且），所以，当，时，，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，，不等式恒成立，所以，即，解得，当，时，，则在上成立，所以在上递增，所以，所以，因为任意的，，不等式恒成立，所以，即，解得，综上：实数a的取值范围为，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：4．（2022·辽宁·二模）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为____．【答案】【解析】由题意，不等式可变形为，得对任意恒成立.设，则对任意恒成立，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，，所以函数在上单调递增.当时，，因为求实数的最小值，所以考虑的情况，此时，因为函数在上单调递增，所以要使，只需，两边取对数，得上，由于，所以.令，则，令，得，易得在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以实数的最小值为.故答案为：.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 5．（2022·福建龙岩·模拟预测）若对恒成立，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】解：因为对恒成立，即对恒成立，记，，所以，令，令，，则，所以当时，所以在上单调递增，所以，即，，则所以在上是增函数，所以当，即时，在上是增函数，所以符合题意；当时，且当时，所以，使得，即当时，单调递减，此时，所以不符合题意，综上可得，即故答案为：6．（2022·山东聊城·三模）已知函数，.(1)当b=1时，讨论函数的单调性；(2)若函数在处的切线方程为，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 【解】(1)当b=1时，，定义域为（0，+∞），.当时，，所以函数在（0，+∞）上单调递减.当时，，令，得；令，得，所以函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.综上，当时，函数在（0，+∞）上单调递增，当时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减.(2)因为函数在处的切线方程为y=(e－1)x－2，所以，且，由于，所以解得a=b=1，所以f(x)=lnx－x，所以f(x)≤g(x)即，等价于对x>0恒成立，即对x>0恒成立.令，所以，.令，，则恒成立，所以G(x)在（0，＋∞）上单调递增.由于G(1)=e>0，，所以使得，即，（※）所以当时，G(x)<0，当时，G(x)>0，即F(x)在上单调递减，在上单调递增，所以，试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 由（※）式可知，，，令，，又x>0，所以，即s(x)在（0，+∞）上为增函数，所以，即，所以，所以所以，实数m的取值范围为（－∞，1].试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司 试卷第23页，共1页学科网（北京）股份有限公司