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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训22利用导数研究不等式恒能成立问题理含解析新人教版202302272128

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课后限时集训(二十二) 利用导数研究不等式恒(能)成立问题建议用时:40分钟1.设f(x)=+xlnx,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.[解] (1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M.由g(x)=x3-x2-3,得g′(x)=3x2-2x=3x.令g′(x)>0得x<0或x>,令g′(x)<0得0<x<,又x∈[0,2],所以g(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以g(x)min=g=-,又g(0)=-3,g(2)=1,所以g(x)max=g(2)=1.故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=≥M,则满足条件的最大整数M=4.(2)对于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,等价于在区间上,函数f(x)min≥g(x)max,由(1)可知在区间上,g(x)的最大值为g(2)=1.在区间上,f(x)=+xlnx≥1恒成立等价于a≥x-x2lnx恒成立.设h(x)=x-x2lnx,h′(x)=1-2xlnx-x,令m(x)=xlnx,由m′(x)=lnx+1>0得x>.即m(x)=xlnx在上是增函数,\n可知h′(x)在区间上是减函数,又h′(1)=0,所以当1<x<2时,h′(x)<0;当<x<1时,h′(x)>0.即函数h(x)=x-x2lnx在区间上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).2.(2020·烟台模拟)已知函数f(x)=px2-(4p+1)x+2lnx,其中p∈R.(1)当p>0时,试求函数f(x)的单调递增区间;(2)若不等式f(x)≤px2-(4p+1)x-2q(x-1)·ex在x∈(1,+∞)时恒成立,求实数q的取值范围.[解] (1)f′(x)=2px-(4p+1)+=(x>0,p>0),当<2即p>时,由f′(x)>0解得x>2或0<x<;当=2即p=时,f′(x)≥0在(0,+∞)恒成立;当>2即0<p<时,由f′(x)>0解得x>或0<x<2.综上,当p>时,f(x)的单调递增区间为,(2,+∞);当p=时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当0<p<时,f(x)的单调递增区间为(0,2),.(2)由f(x)≤px2-(4p+1)x-2q(x-1)ex,化简得:lnx+q(x-1)ex≤0在(1,+∞)时恒成立,记g(x)=lnx+q(x-1)ex,当q≥0时,g(x)在x∈(1,+∞)为增函数,g(1)=0,所以g(x)>0,不合题意;当q<0时,g′(x)=+qxex在x∈(1,+∞)为减函数,g′(1)=1+qe,若g′(1)=1+qe≤0,即q≤-时,g′(x)<g′(1),所以g′(x)<0,所以g(x)在x∈(1,+∞)为减函数,所以g(x)<g(1)=0,所以q≤-符合题意.\n若g′(1)=1+qe>0,即q>-时,g′(x)=+qxex在x∈(1,+∞)为减函数,∃x0∈(1,+∞)使得x∈(1,x0),g′(x)>0,即g(x)在x∈(1,x0)为增函数,所以g(x)>g(1)=0与g(x)≤0矛盾,所以q>-,不合题意.综上,q∈.3.(2020·龙岩模拟)已知函数f(x)=lnx(其中e为自然对数的底数).(1)证明:f(x)≤f(e);(2)对任意正实数x、y,不等式a(lny-lnx)-2x≤0恒成立,求正实数a的最大值.[解] (1)证明:f′(x)=-lnx+=-lnx+-=,令g(x)=-xlnx+2e-x,g′(x)=-lnx+(-x)·-1=-lnx-2,在(0,e-2)上,g′(x)>0,g(x)单调递增,在(e-2,+∞)上,g′(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g(e-2)=-e-2lne-2+2e-e-2=2e-2+2e-e-2=e-2+2e>0,又因为x→0时,g(x)→0;g(e)=0,所以在(0,e)上,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增,在(e,+∞)上,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e),即f(x)≤f(e).(2)因为x,y,a,都大于0,由a(lny-lnx)-2x≤0两边同除以ax整理得:≥ln,令=t(t>0),所以≥lnt恒成立,记h(t)=lnt,则≥h(t)max,\n由(1)知h(t)max=g(e)=1,所以≥1,即0<a≤2,amax=2.所以正实数a的最大值是2.

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发布时间:2022-08-25 17:31:15 页数:4
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文章作者:U-336598

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