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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训7基本不等式理含解析新人教版202302272180
2023高考数学统考一轮复习课后限时集训7基本不等式理含解析新人教版202302272180
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课后限时集训(七) 基本不等式建议用时:40分钟一、选择题1.下列不等式证明过程正确的是( )①若a,b∈R,则+≥2=2;②若x>1,y>1,则lgx+lgy≥2;③若x<0,则x+≥2=-4;④若x<0,则2x+2-x>2=2.A.①④B.②③C.①②④D.②④D [①错误,∵a,b不满足同号,故不能用基本不等式;②正确,∵lgx和lgy一定是正实数,故可用基本不等式;③错误,∵x和不是正实数,故不能直接利用基本不等式;④正确,∵2x和2-x都是正实数,故2x+2-x>2=2成立,当且仅当2x=2-x相等时(即x=0时),等号成立,故选D.]2.若a,b都是正数,则·的最小值为( )A.7B.8C.9D.10C [∵a,b都是正数,∴=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故·的最小值为9.]3.设0<x<2,则函数y=的最大值为( )A.2B.C.D.D [∵0<x<2,∴4-2x>0,∴x(4-2x)=×2x(4-2x)≤×=×4=2.当且仅当2x=4-2x,即x=1时等号成立.即函数y=的最大值为.]4.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( )\nA.B.4C.D.5C [由a>0,b>0,a+b=2知+=(a+b)=≥,当且仅当=,即b=2a=时等号成立,故选C.]5.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则( )A.R<P<QB.Q<P<RC.P<Q<RD.P<R<QC [∵a>b>1,∴lga>lgb>0,(lga+lgb)>,即Q>P.∵>,∴lg>lg=(lga+lgb)=Q,即R>Q,∴P<Q<R.]6.(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A.60件B.80件C.100件D.120件B [若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是元,总的费用是+≥2=20,当且仅当=,即x=80时取等号.]二、填空题7.已知函数y=x+(x>2)的最小值为6,则正数m的值为________.4 [∵x>2,∴x-2>0,∴y=x+=x-2++2≥2+2=2+2,当且仅当x-2=,即x=2+时等号成立.由题意知2+2=6,解得m=4.]8.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.\n [由题知a-3b=-6,因为2a>0,8b>0,所以2a+≥2×=2×=,当且仅当2a=,即a=-3b,a=-3,b=1时取等号.]9.(2020·扬州模拟)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为________.2+2 [∵a>0,b>0,且a+b=1,∴=+=+=++2≥2+2=2+2.当且仅当即a=-1,b=2-时等号成立.因此的最小值为2+2.]三、解答题10.(2020·贵阳模拟)已知正实数x,y满足等式+=2.(1)求xy的最小值;(2)若3x+y≥m2-m恒成立,求实数m的取值范围.[解] (1)2=+≥2,即xy≥3,当且仅当x=1,y=3时等号成立,所以xy的最小值为3.(2)3x+y=(3x+y)=≥=6,当且仅当x=1,y=3时等号成立,即(3x+y)min=6,所以m2-m≤6,所以-2≤m≤3.11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.\n(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.1.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )A.B.2C.2D.4C [由题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时等号成立.∴≥,即ab≥2,故选C.]2.(2020·北京朝阳区模拟)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是________.3 [∵x>1且x-y=1,∴y=x-1>0.∴x+=x+=(x-1)++1≥2+1=3(当且仅当x=2时取等号,此时y=1).∴x+的最小值为3.]3.经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少?(2)已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?[解] (1)当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4900)=[(x-65)2+675],所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,\n故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65km/h时,可使得每小时耗油量最少.(2)设总耗油量为lL,由题意可知l=y·.①当x∈[50,80)时,l=y·=≥=16,当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值,最小值为16.②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数,所以当x=120时,l取得最小值,最小值为10.因为10<16,所以当速度为120km/h时,总耗油量最少.1.(2020·江苏高考)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是________. [法一:由5x2y2+y4=1,得x2=.由x2≥0,得y2∈(0,1],则x2+y2=+y2==≥×2=,当且仅当4y2=,即y2=,x2=时等号成立,因此x2+y2的最小值为.法二:4=(5x2+y2)·4y2≤2=(x2+y2)2,即(x2+y2)2≥4,即(x2+y2)2≥,所以x2+y2≥,当且仅当5x2+y2=4y2=2,即y2=,x2=时等号成立.因此x2+y2的最小值为.]2.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,\n某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.[解] (1)设甲工程队的总造价为y元,则y=3+14400=1800+14400(3≤x≤6),1800+14400≥1800×2×+14400=28800.当且仅当x=,即x=4时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低,最低为28800元.(2)由题意可得,1800+14400>,对任意的x∈[3,6]恒成立.即>,从而>a恒成立,令x+1=t,==t++6,t∈[4,7],又y=t++6在t∈[4,7]为单调增函数,故ymin=12.25.所以0<a<12.25.
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 17:31:39
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