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2023版高考数学一轮复习课后限时集训7基本不等式含解析202303181137

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课后限时集训(七) 基本不等式建议用时:40分钟一、选择题1.(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为2的有(  )A.当ab=1时,a+bB.当ab=1时,+C.a2-2a+3D.+BC [对于A,当a,b均为负值时,a+b<0,故当ab=1时,a+b的最小值不为2,A错误;对于B,因为ab=1,所以a,b同号,所以>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当=,且ab=1,即a=b=±1时取等号,故当ab=1时,+的最小值为2,B正确;对于C,因为a2-2a+3=(a-1)2+2,所以当a=1时,a2-2a+3取最小值2,C正确;对于D,+≥2=2,当且仅当=,即a2+2=1时取等号,但等号显然不成立,故+的最小值不为2,D错误.故选BC.]2.(多选)(2020·山东菏泽期中)设a,b∈R,则下列不等式一定成立的是(  )A.a2+b2≥2abB.a+≥2C.b2+1≥2bD.+≥2ACD [对于A,当a,b∈R时,a2+b2≥2ab成立,故A正确;对于B,当a>0时,a+≥2,等号成立的条件是a=1,当a<0时,a+≤-2,等号成立的条件是a=-1,故B不正确;对于C,当b∈R时,b2+1-2b=(b-1)2≥0,所以b2+1≥2b,故C正确;对于D,>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即a2=b2时等号成立,故D正确.故选ACD.]3.设0<x<2,则函数y=的最大值为(  )\nA.2B.C.D.D [∵0<x<2,∴4-2x>0,∴x(4-2x)=×2x(4-2x)≤×2=×4=2.当且仅当2x=4-2x,即x=1时等号成立.即函数y=的最大值为.]4.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是(  )A.B.4C.D.5C [由a>0,b>0,a+b=2知+=(a+b)=≥,当且仅当=,即b=2a=时等号成立,故选C.]5.若a>b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则(  )A.R<P<QB.Q<P<RC.P<Q<RD.P<R<QC [∵a>b>1,∴lga>lgb>0,(lga+lgb)>,即Q>P.∵>,∴lg>lg=(lga+lgb)=Q,即R>Q,∴P<Q<R.]6.(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(  )A.60件B.80件C.100件D.120件B [若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是元,仓储费用是元,总的费用是+≥2=20,当且仅当=,即x=80时取等号.]\n二、填空题7.已知函数y=x+(x>2)的最小值为6,则正数m的值为________.4 [∵x>2,∴x-2>0,∴y=x+=x-2++2≥2+2=2+2,当且仅当x-2=,即x=2+时等号成立.由题意知2+2=6,解得m=4.]8.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________. [由题知a-3b=-6,因为2a>0,8b>0,所以2a+≥2×=2×=,当且仅当2a=,即a=-3b,a=-3,b=1时取等号.]9.(2020·扬州模拟)已知正数a,b满足a+b=1,则的最小值为________.2+2 [∵a>0,b>0,且a+b=1,∴=+=+=++2≥2+2=2+2.当且仅当即a=-1,b=2-时等号成立.因此的最小值为2+2.]三、解答题10.已知正实数x,y满足等式+=2.(1)求xy的最小值;(2)若3x+y≥m2-m恒成立,求实数m的取值范围.[解] (1)2=+≥2,即xy≥3,当且仅当x=1,y=3时等号成立,所以xy的最小值为3.(2)3x+y=(3x+y)=≥=6,当且仅当x=1,y\n=3时等号成立,即(3x+y)min=6,所以m2-m≤6,所以-2≤m≤3.11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.[解] (1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,当且仅当x=16,y=4时,等号成立.所以xy的最小值为64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.当且仅当x=12且y=6时等号成立,所以x+y的最小值为18.1.(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是(  )A.若x,y>0,x+y=2,则2x+2y的最大值为4B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-1C.若x,y>0,x+y+xy=3,则xy的最小值为1D.函数y=+的最小值为9BD [对于A,取x=,y=,可得2x+2y=3>4,A错误;对于B,y=2x+=-+1≤-2+1=-1,当且仅当x=0时等号成立,B正确;对于C,易知x=2,y=满足等式x+y+xy=3,此时xy=<1,C错误;对于D,y=+=(sin2x+cos2x)=++5≥2+5=9,当且仅当cos2x=,sin2x=时等号成立,D正确.故选BD.]\n2.(2020·北京朝阳区模拟)已知x>1,且x-y=1,则x+的最小值是________.3 [∵x>1且x-y=1,∴y=x-1>0.∴x+=x+=(x-1)++1≥2+1=3(当且仅当x=2时取等号,此时y=1).∴x+的最小值为3.]3.经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=(1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少?(2)已知A,B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?[解] (1)当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4900)=[(x-65)2+675],所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65km/h时,可使得每小时耗油量最少.(2)设总耗油量为lL,由题意可知l=y·.①当x∈[50,80)时,l=y·=≥=16,当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值,最小值为16.②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数,所以当x=120时,l取得最小值,最小值为10.因为10<16,所以当速度为120km/h时,总耗油量最少.1.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则如下四组数对中,可作为数对(S,l)的是(  )A.(1,4)B.(6,8)\nC.(7,12)D.AC [设矩形的边长分别为x,y,则x+y=l,S=xy.对于A,(1,4),则x+y=2,xy=1,根据基本不等式得xy≤2,符合题意;对于B,(6,8),则x+y=4,xy=6,根据基本不等式得xy≤2,不符合题意;对于C,(7,12),则x+y=6,xy=7,根据基本不等式得xy≤2,符合题意;对于D,,则x+y=,xy=3,根据基本不等式得xy≤2,不符合题意.故选AC.]2.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?并求出最低报价;(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.[解] (1)设甲工程队的总造价为y元,则y=3+14400=1800+14400(3≤x≤6),1800+14400≥1800×2×+14400=28800.当且仅当x=,即x=4时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低,最低为28800元.(2)由题意可得,1800+14400>,对任意的x∈[3,6]恒成立.即>,从而>a恒成立,令x+1=t,==t++6,t∈[4,7],又y=t++6在t∈[4,7]为单调增函数,故ymin=12.25.\n所以0<a<12.25.

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发布时间:2022-08-25 17:22:21 页数:7
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文章作者:U-336598

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