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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训77不等式的证明理含解析新人教版202302272188

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课后限时集训(七十七) 不等式的证明建议用时:25分钟1.已知a>0,b>0,c>0.(1)求证:a4-a2b2+b4≥;(2)若abc=1,求证:a3+b3+c3≥ab+bc+ac.[证明] (1)要证a4-a2b2+b4≥,即证(a2+b2)(a4-a2b2+b4)≥ab(a4+b4),即证a6+b6≥a5b+ab5,即证a6+b6-a5b-ab5≥0,即证a5(a-b)-(a-b)b5≥0,即证(a5-b5)(a-b)≥0,该式显然成立,当且仅当a=b时等号成立,故a4-a2b2+b4≥.(2)由算术-几何平均不等式得a3+b3+c3≥3abc,a3+b3+1≥3ab,b3+c3+1≥3bc,a3+c3+1≥3ac,将上面四式相加,可得3a3+3b3+3c3+3≥3abc+3ab+3bc+3ac,当且仅当a=b=c=1时等号成立.即a3+b3+c3≥ab+bc+ac.2.已知a,b为正实数.(1)求证:+≥a+b;(2)利用(1)的结论求函数y=+(0<x<1)的最小值.[解] (1)证明:因为+-(a+b)===.\n又因为a>0,b>0,所以≥0,当且仅当a=b时等号成立.所以+≥a+b.(2)因为0<x<1,所以1-x>0,由(1)的结论,y=+≥(1-x)+x=1.当且仅当1-x=x即x=时等号成立.所以函数y=+(0<x<1)的最小值为1.1.已知函数f(x)=m-|x-1|(m>0),且f(x+1)≥0的解集为[-3,3].(1)求m的值;(2)若正实数a,b,c满足++=m,求证:a+2b+3c≥3.[解] (1)因为f(x+1)=m-|x|,所以f(x+1)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m,得解集为[-m,m](m>0),又由f(x+1)≥0的解集为[-3,3],故m=3.(2)证明:由(1)知++=3,又∵a,b,c是正实数,∴a+2b+3c=(a+2b+3c)≥=3.当且仅当a=1,b=,c=时等号成立,所以a+2b+3c≥3.2.已知函数f(x)=|2x-3|+|2x-1|的最小值为M.(1)若m,n∈[-M,M],求证:2|m+n|≤|4+mn|;\n(2)若a,b∈(0,+∞),a+2b=M,求+的最小值.[解] (1)证明:∵f(x)=|2x-3|+|2x-1|≥|2x-3-(2x-1)|=2,∴M=2.要证明2|m+n|≤|4+mn|,只需证明4(m+n)2≤(4+mn)2,∵4(m+n)2-(4+mn)2=4(m2+2mn+n2)-(16+8mn+m2n2)=(m2-4)(4-n2),∵m,n∈[-2,2],∴m2,n2∈[0,4],∴(m2-4)(4-n2)≤0,∴4(m+n)2-(4+mn)2≤0,∴4(m+n)2≤(4+mn)2,可得2|m+n|≤|4+mn|.(2)由(1)得,a+2b=2,因为a,b∈(0,+∞),所以+=(a+2b)=≥=4,当且仅当a=1,b=时,等号成立.所以+的最小值为4.

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发布时间:2022-08-25 17:31:39 页数:3
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文章作者:U-336598

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