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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训55抛物线理含解析新人教版202302272164

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课后限时集训(五十五) 抛物线建议用时:40分钟一、选择题1.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是(  )A.x2=yB.x2=y或x2=-yC.x2=-yD.x2=12y或x2=-36yD [将y=ax2化为x2=y.当a>0时,准线y=-,则3+=6,∴a=.当a<0时,准线y=-,则=6,∴a=-.∴抛物线方程为x2=12y或x2=-36y.]2.(2020·泰安模拟)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,OF为菱形OBFC的一条对角线,另一条对角线BC的长为2,且点B,C在抛物线E上,则p=(  )A.1B.C.2D.2B [由题意,在抛物线上,代入抛物线方程可得1=,∵p>0,∴p=,故选B.]3.(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线(  )A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OPB [如图所示:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.]\n4.(2020·攀枝花模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两点,若|AF|=3,则此抛物线方程为(  )A.y2=xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=2xC [过点A向x轴作垂线,垂足为E,因为|AF|=3,直线AB的倾斜角为60°,所以|AE|=|AF|sin60°=,|EF|=|AF|cos60°=,又F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,所以F,因此E,故A,又点A在抛物线y2=2px(p>0)上,所以=2p×,即4p2+12p-27=0,解得p=或p=-(舍).故抛物线的方程为y2=3x.故选C.]5.过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点(xA>xB),则=(  )A.B.C.3D.2D [设直线方程为y=2(x-1),与y2=4x联立得2x2-5x+2=0,所以(2x-1)(x-2)=0,x1=,x2=2.因为xA>xB,所以xA=2,xB=,\n所以===2.]6.(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在直线l:x=-1上的射影为A,且直线AF的斜率为-,则△MAF的面积为(  )A.B.2C.4D.8C [如图所示,设准线l与x轴交于点N.则|FN|=2.∵直线AF的斜率为-,∴∠AFN=60°.∴∠MAF=60°,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,∴△AMF是边长为4的等边三角形.∴S△AMF=×42=4.故选C.]二、填空题7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),则抛物线C的方程是;若M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,且M为FN的中点,则|FN|=.y2=8x 6 [抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),可得p=4,则抛物线C的方程是y2=8x.由M为FN的中点,得M的横坐标为1,代入抛物线方程得y=±2,则M(1,±2),则点N的坐标为(0,±4),所以|FN|==6.]8.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽米.\n2 [建立平面直角坐标系如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由题意可知抛物线过点(2,-2),故4=4p,∴p=1,∴x2=-2y.故当y=-3时,x2=6,即x=.所以当水位降1米后,水面宽2米.]9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作一条直线交抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=. [法一:由题意可知F(1,0),设A(xA,yA),B(xB,yB),点A在第一象限,则|AF|=xA+1=3,所以xA=2,yA=2,所以直线AB的斜率为k==2.则直线AB的方程为y=2(x-1),与抛物线方程联立整理得2x2-5x+2=0,xA+xB=,所以xB=,所以|BF|=+1=.法二:由+=可知=1-=,∴|BF|=.]三、解答题10.如图,抛物线的顶点在原点,圆(x-2)2+y2=4的圆心恰是抛物线的焦点.(1)求抛物线的方程;\n(2)一条直线的斜率等于2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于A,B,C,D四点,求|AB|+|CD|的值.[解] (1)设抛物线方程为y2=2px(p>0),∵圆(x-2)2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点,∴p=4.∴抛物线的方程为y2=8x.(2)依题意直线AB的方程为y=2x-4,设A(x1,y1),D(x2,y2),则得x2-6x+4=0,∴x1+x2=6,|AD|=x1+x2+p=6+4=10.|AB|+|CD|=|AD|-|CB|=10-4=6.11.如图,已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为∠AGB的平分线.[解] (1)由抛物线定义可得|AF|=2+=3,解得p=2.∴抛物线E的方程为y2=4x.(2)证明:∵点A(2,m)在抛物线E上,∴m2=4×2,解得m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),∴直线AF的方程为y=2(x-1),由得2x2-5x+2=0,解得x=2或,∴B.又G(-1,0),∴kGA=,kGB=-,∴kGA+kGB=0,∴∠AGF=∠BGF.∴GF为∠AGB的平分线.1.已知P是抛物线y2=4x上的一个动点,Q是圆(x-3)2+(y-1)2=1上的一个动点,\nN(1,0)是一个定点,则|PQ|+|PN|的最小值为(  )A.3B.4C.5D.+1A [由抛物线方程y2=4x,可得抛物线的焦点F(1,0),又N(1,0),所以N与F重合.过圆(x-3)2+(y-1)2=1的圆心M作抛物线准线的垂线MH,交圆于Q,交抛物线于P,则|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.]2.(2020·济宁三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A,B,且满足=2,E为AB的中点,则点E到抛物线准线的距离为(  )A.B.C.D.B [由题意得抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵=2,∴|AF|=2|BF|,∴x1+1=2(x2+1),∴x1=2x2+1,∵|y1|=2|y2|,∴y=4y,∴x1=4x2,∴x1=2,x2=.∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为[(x1+1)+(x2+1)]=.故选B.]3.已知点A(m,4)(m>0)在抛物线x2=4y上,过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2,且l1,l2与抛物线的另一个交点分别为B,C.(1)求证:直线BC的斜率为定值;(2)若抛物线上存在两点关于BC对称,求|BC|的取值范围.[解] (1)证明:∵点A(m,4)在抛物线上,∴16=m2,∴m=±4,又m>0,∴m=4.设B(x1,y1),C(x2,y2),则kAB+kAC=+==0,∴x1+x2=-8.\n∴kBC====-2,∴直线BC的斜率为定值-2.(2)设直线BC的方程为y=-2x+b,P(x3,y3),Q(x4,y4)关于直线BC对称,设PQ的中点为M(x0,y0),则kPQ====,∴x0=1.∴M(1,-2+b).又点M在抛物线内部,∴-2+b>,即b>.由得x2+8x-4b=0,∴x3+x4=-8,x3x4=-4b.∴|BC|=|x3-x4|=·=×.又b>,∴|BC|>10.∴|BC|的取值范围为(10,+∞).1.(2020·潍坊模拟)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则△ABM的周长为(  )A.+B.9+C.+D.9+D [∵MA∥x轴,∴A,\n由题意可知AB经过抛物线y2=4x的焦点F(1,0),∴直线AB的方程为y=-(x-1).联立方程解得B(4,-4),∴|AM|=3-=,|AB|=+4+2=,|MB|==.∴△ABM的周长为9+.故选D.]2.(2020·静安区二模)已知抛物线Γ:y2=4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上,且++=0,则称该三角形为“核心三角形”.(1)是否存在“核心三角形”,其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)?请说明理由;(2)设“核心三角形”ABC的一边AB所在直线的斜率为4,求直线AB的方程;(3)已知△ABC是“核心三角形”,证明:点A的横坐标小于2.[解] (1)抛物线Г:y2=4x的焦点为F(1,0),由++=0,得1=,0=,故第三个顶点的坐标为3(1,0)-(0,0)-(1,2)=(2,-2),但点(2,-2)不满足抛物线的方程,即点(2,-2)不在抛物线上,所以这样的“核心三角形”不存在.(2)设直线AB的方程为y=4x+t,与y2=4x联立,可得y2-y+t=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),y1+y2=1,x1+x2=(y1+y2-2t)=-t,由(x1+x2+x3,y1+y2+y3)=(3,0),可得x3=t+,y3=-1,代入方程y2=4x,可得11+2t=1,解得t=-5,所以直线AB的方程为4x-y-5=0.(3)证明:设直线BC的方程为x=ny+m,与y2=4x联立,可得y2-4ny-4m=0,因为直线BC与抛物线相交,故判别式Δ=16(n2+m)>0,y1+y2=4n,所以x1+x2=n(y1+y2)+2m=4n2+2m,可得点A的坐标为(-4n2-2m+3,-4n),又因为A在抛物线上,\n故16n2=-16n2-8m+12,可得m=-4n2+,因为m>-n2,所以n2<,故A的横坐标为-4n2-2m+3=-4n2+8n2=4n2<2.

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发布时间:2022-08-25 17:31:30 页数:9
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文章作者:U-336598

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