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2023高考数学统考一轮复习课后限时集训18导数的概念及运算理含解析新人教版202302272123

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课后限时集训(十八) 导数的概念及运算建议用时:40分钟一、选择题1.下列求导运算正确的是(  )A.=1+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2sinxB [=x′+=1-;(3x)′=3xln3;(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,故选项B正确.]2.已知f′(x)是函数f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则f′(2)=(  )A.B.C.D.-2C [因为f′(x)=f′(1)·2xln2+2x,所以f′(1)=f′(1)·2ln2+2,解得f′(1)=,所以f′(x)=·2xln2+2x,所以f′(2)=×22ln2+2×2=.]3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-3t2+8t,那么速度为零的时刻是(  )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末D [∵s′(t)=t2-6t+8,由导数的定义可知v=s′(t),令s′(t)=0,得t=2或4,即2秒末和4秒末的速度为零,故选D.]4.若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在x=0处有公切线,则a+b=(  )A.-1B.0C.1D.2C [由题意得f′(x)=-asinx,g′(x)=2x+b,于是有f′(0)=g′(0),即-asin0=2×0+b,∴b=0.又f(0)=g(0),即a=1,∴a+b=1.]5.已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线,则实数a=(  )A.B.C.D.\nC [设切点坐标为(x0,lnx0),由y=lnx的导函数为y′=知切线方程为y-lnx0=(x-x0),即y=+lnx0-1.由题意可知解得a=.故选C.]6.(2020·合肥模拟)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-e),且与曲线y=f(x)相切,则直线l的斜率为(  )A.-2B.2C.-eD.eB [函数f(x)=xlnx的导数为f′(x)=lnx+1,设切点为(m,n),可得切线的斜率k=1+lnm,则1+lnm==,解得m=e,故k=1+lne=2.]二、填空题7.已知f(x)=ax4+bcosx+7x-2.若f′(2020)=6,则f′(-2020)=________.8 [因为f′(x)=4ax3-bsinx+7,所以f′(-x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7=-4ax3+bsinx+7.所以f′(x)+f′(-x)=14.又f′(2020)=6,所以f′(-2020)=14-6=8.]8.(2020·全国卷Ⅰ)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.y=2x [设切点坐标为(x0,lnx0+x0+1).由题意得y′=+1,则该切线的斜率k=+1=2,解得x0=1,所以切点坐标为(1,2),所以该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.]9.设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0,则点P的坐标为________.(1,-1)或(-1,1) [由题意知,f′(x)=3x2+2ax,所以曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率为f′(x0)=3x+2ax0,又切线方程为x+y=0,所以x0≠0,且解得或所以当时,点P的坐标为(1,-1);当时,点P的坐标为(-1,1).]三、解答题10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:\n(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.[解] (1)∵y′=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y′min=-1,此时y=,∴斜率最小时的切点为,斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tanα≥-1,又∵α∈[0,π),∴α∈∪.故α的取值范围为∪.11.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b的值;(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.[解] f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意,得解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,所以关于x的方程f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a≠-.所以a的取值范围为∪.1.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a的值为(  )A.0B.0或8C.8D.1C [对y=x+lnx求导,得y′=1+,y′|x=1=2,即切线的斜率为2,切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为该切线与抛物线相切,\n所以ax2+(a+2)x+1=2x-1有唯一解.即ax2+ax+2=0有唯一解.则解得a=8,故选C.]2.若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.(-∞,0) [由题意知,f(x)的定义域(0,+∞),f′(x)=3ax2+,又存在垂直于y轴的切线,所以3ax2+=0,即a=-(x>0),故a∈(-∞,0).]3.已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)若直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)若曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.[解] (1)因为f′(x)=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率k=f′(2)=13.所以所求的切线方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3x+1,所以直线l的方程为y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,整理得x=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,直线l的斜率k=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3x+1=4,所以x0=±1.所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.\n

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发布时间:2022-08-25 17:31:13 页数:5
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文章作者:U-336598

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