2023高考数学统考一轮复习课后限时集训45空间向量的运算及应用理含解析新人教版202302272153
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课后限时集训(四十五) 空间向量的运算及应用建议用时:40分钟一、选择题1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( )A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)B [由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).]2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为( )A.-2B.-C.D.2D [∵a⊥(a-λb),∴a·(a-λb)=0,即a2=λa·b.又a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),∴a·b=2+2+3=7,|a|==.∴14=7λ,∴λ=2.故选D.]3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )A.B.C.D.D [∵a=(1,0,1),b=(x,1,2),∴a·b=x+2=3.∴x=1.∴|a|=,|b|=.∴cos〈a,b〉==.又〈a,b〉∈[0,π],故〈a,b〉=.故选D.]4.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,有6=+2+3,则( )A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面B [由6=+2+3,得-=2(-)+3(-),即=2+3,\n故,,共面,又它们有公共点P,因此,P,A,B,C四点共面,故选B.]5.如图所示,三棱锥OABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=( )A.(-a+b+c)B.(a+b-c)C.(a-b+c)D.(-a-b+c)B [=+=(-)+=-+(-)=+-=(a+b-c).]6.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC中点,则△AMD是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定C [∵M为BC中点,∴=(+),∴·=(+)·=·+·=0.∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.]二、填空题7.在空间直角坐标系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四点共面,则2x+y+z=.\n1 [∵A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),∴=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2).∵A,B,C,D四点共面,∴存在实数λ,μ使得=λ+μ,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),∴解得2x+y+z=1.]8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin〈,〉的值为. [如图建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体棱长为2,则易得=(2,-2,1),=(2,2,-1),∴cos〈,〉==-,∴sin〈,〉==.]9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是.①②③ [∵·=0,·=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP,则①②正确.又与不平行,∴是平面ABCD的法向量,则③正确.∵=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),∴与不平行,故④错误.]三、解答题10.如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,\n且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.求证:(1)DE∥平面ABC;(2)B1F⊥平面AEF.[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以=(-2,4,0),=(-2,4,0),所以=,所以DE∥NC.又因为NC⊂平面ABC,DE⊄平面ABC,故DE∥平面ABC.(2)由(1)知=(-2,2,-4),=(2,-2,-2),=(2,2,0).·=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,·=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.所以⊥,⊥,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因为AF∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.11.如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD.证明:(1)PA⊥BD;\n(2)平面PAD⊥平面PAB.[证明] (1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC⊥底面ABCD,△PBC为等边三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=,所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).因为·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0,所以⊥,所以PA⊥BD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.因为=,=(1,0,-),所以·=×1+0×0+×(-)=0,所以⊥,即DM⊥PB.因为·=×1+0×(-2)+×(-)=0,所以⊥,即DM⊥PA.又因为PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因为DM⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.1.(2020·潍坊期末)如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=AA1=AD,∠BAD=∠DAA1=60°,∠BAA1=30°,N为A1D1上一点,且A1N=λA1D1.\n(1)若BD⊥AN,则λ的值为;(2)若M为棱DD1的中点,BM∥平面AB1N,则λ的值为.(1)-1 (2) [(1)取空间中一组基底:=a,=b,=c,因为BD⊥AN,所以·=0.因为=-=b-a,=+=c+λb,所以(b-a)·(c+λb)=0,所以+λ--=0,所以λ=-1.(2)在AD上取一点M1使得A1N=AM1,连接M1N,M1M,M1B,因为A1N∥AM1且A1N=AM1,所以四边形AA1NM1为平行四边形,又AA1綊BB1,所以M1N綊B1B,所以四边形NM1BB1为平行四边形,所以NB1∥M1B,NB1=M1B,又因为M1B⊄平面AB1N,NB1⊂平面AB1N,所以M1B∥平面AB1N,又因为BM∥平面AB1N,且BM∩M1B=B,所以平面M1MB∥平面AB1N,所以MM1∥平面AB1N.又因为平面AA1D1D∩平面AB1N=AN,且MM1⊂平面AA1D1D,所以M1M∥AN,所以△AA1N∽△MDM1,所以===2,所以λ=.]2.如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则BD的长为.\n2或 [∵AB与CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°.又∵AB=AC=CD=1,AC⊥CD,AC⊥AB,∴||=====,∴||=2或.∴BD的长为2或.]3.如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,点P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,则侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC,若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.[解] (1)证明:连接BD,设AC交BD于点O,则AC⊥BD.连接SO,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z\n轴,建立空间直角坐标系,如图.设底面边长为a,则高SO=a,于是S,D,B,C,=,=,则·=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC.理由如下:由已知条件知是平面PAC的一个法向量,且=,=,=.设=t,则=+=+t=,而·=0⇒t=.即当SE∶EC=2∶1时,BE⊥DS.而BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.
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