第三章　§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§3.5　利用导数研究恒(能)成立问题考试要求　恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大．题型一　分离参数求参数范围例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值．即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为0，无极大值．(2)因为f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，所以ex－x2－ax－1≤0在[0，＋∞)上有解，当x＝0时，不等式成立，此时a∈R，当x>0时，不等式等价于a≥－在(0，＋∞)上有解，令g(x)＝－，则g′(x)＝－＝，由(1)知当a＝1时，f(x)>f(0)＝0，即ex－(x＋1)>0，所以当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)min＝e－2，所以a≥e－2，综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞)．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期思维升华　分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.跟踪训练1　(2023·苏州质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，则f′(x)＝1－ex，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，则问题转化为a≤max(x>0)，令h(x)＝，x>0，h′(x)＝＝，当0<x<时，h′(x)>0，当x>时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，所以h(x)max＝h()＝，所以a≤.题型二　等价转化求参数范围例2　(2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)f′(x)＝a－＝(x>0)，①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a>0时，令f′(x)>0，得x>，令f′(x)<0，得0<x<，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)∵x＝1为函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，∴a＝1.f(x)＝x－lnx，x[f(x)－x＋1]＝x(1－lnx)，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)⇔x(1－lnx)≤m(e－x)，即x(1－lnx)－m(e－x)≤0，令g(x)＝x(1－lnx)－m(e－x)，g(e)＝0，g′(x)＝m－lnx，x∈[e，＋∞)，若m≤1，g′(x)≤0在[e，＋∞)上恒成立，则g(x)在[e，＋∞)上单调递减，∴g(x)≤g(e)＝0满足题意．若m>1，由g′(x)>0，可得e≤x<em，则g(x)在[e，em)上单调递增，∴在[e，em)上存在x0使得g(x0)>g(e)＝0，与题意不符，综上，实数m的取值范围为m≤1.思维升华　根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．跟踪训练2　(2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R.(1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝ex＋，因为f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f′(x)＝ex＋≤0在(－∞，0)上恒成立，即a≥－x·ex在(－∞，0)上恒成立，令g(x)＝－x·ex(x<0)，则g′(x)＝－ex－xex＝－(x＋1)ex，当x<－1时，g′(x)>0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当－1<x<0时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，所以g(x)max＝g(－1)＝，所以a的取值范围为.(2)由f(x)≤f′(x)得aln(－x)＋1≤，即aln(－x)－＋1≤0对∀x∈(－∞，0)恒成立，令h(x)＝aln(－x)－＋1(x<0)，h′(x)＝＋＝(x<0)，当a＝0时，h(x)＝1，不满足h(x)≤0；当a>0且x<－1时，h′(x)<0，当a>0且－1<x<0时，h′(x)>0，所以函数h(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，所以h(x)min＝h(－1)＝a＋1>0，不符合题意；当a<0且x<－1时，h′(x)>0，当a<0且－1<x<0时，h′(x)<0，所以当a<0时，函数h(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，所以h(x)max＝h(－1)＝a＋1≤0，解得a≤－1，综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．题型三　双变量的恒(能)成立问题例3　(2023·石家庄质检)已知函数f(x)＝ax2lnx与g(x)＝x2－bx.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处有相同的切线，求a，b，并证明f(x)≥g(x)；(2)若对∀x∈[1，e]，都∃b∈使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝2axlnx＋ax，g′(x)＝2x－b，∵函数f(x)与g(x)在x＝1处有相同的切线，∴即解得此时f(x)＝x2lnx，g(x)＝x2－x，要证f(x)≥g(x)，即证x2lnx≥x2－x，即xlnx≥x－1，令h(x)＝xlnx－x＋1，则h′(x)＝lnx，且h′(1)＝0，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，∴h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝0，即f(x)≥g(x)．(2)欲使f(x)≥g(x)恒成立，即ax2lnx≥x2－bx成立，即axlnx－x≥－b成立，∵∃b∈使f(x)≥g(x)恒成立，∴axlnx－x≥－恒成立，当x＝1时，有－1≥－成立，∴a∈R，当x∈(1，e]时，a≥，令G(x)＝，则G′(x)＝，令m(x)＝lnx－x＋，则m′(x)＝－1，且m′＝0，当1<x<时，m′(x)>0，当<x<e时，m′(x)<0，∴m(x)在上单调递增，在上单调递减，m(1)＝－1＋>0，m＝ln >0，m(e)＝0，∴当x∈(1，e]时，m(x)≥0，即G′(x)≥0，G(x)在(1，e]上单调递增，当x＝e时，G(x)有最大值，且G(e)＝，∴a≥，综上所述，a的取值范围是a≥.思维升华　“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价转换有(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.跟踪训练3　已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)因为f(x)＝(x∈R)，所以f′(x)＝(x∈R)，因为a>0，所以令f′(x)>0，得0<x<3；令f′(x)<0，得x<0或x>3.所以f(x)的单调递增区间为(0,3)，单调递减区间为(－∞，0)和(3，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减，所以f(x)在[0,4]上的最大值是f(3)＝.又f(0)＝－a<0，f(4)＝11ae－4>0，所以f(0)<f(4)，所以f(x)在[0,4]上的最小值为f(0)＝－a.若∀x1，x2∈[0,4]，不等式|f(x1)－f(x2)|<1恒成立，则需f(x)max－f(x)min<1在x∈[0,4]上恒成立，即f(3)－f(0)<1，即＋a<1，解得a<，又a>0，所以0<a<，故实数a的取值范围为.课时精练1．已知函数f(x)＝(x－2)ex.(1)求f(x)在[－1,3]上的最值；(2)若不等式2f(x)＋2ax≥ax2对x∈[2，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)依题意f′(x)＝(x－1)ex，令f′(x)＝0，解得x＝1，当x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在[－1,1)上单调递减，在(1,3]上单调递增，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期而f(1)＝－e，f(3)＝e3，f(－1)＝－，∴f(x)在[－1,3]上的最小值为－e，最大值为e3.(2)依题意，2(x－2)ex＋2ax≥ax2在[2，＋∞)上恒成立．当x＝2时，4a≥4a，∴a∈R；当x>2时，原不等式化为a≤＝，令g(x)＝，则g′(x)＝，∵x>2，∴g′(x)>0，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴g(x)>g(2)＝e2，∴a≤e2，综上，实数a的取值范围是(－∞，e2]．2．(2023·镇江模拟)已知函数f(x)＝alnx－x(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，设g(x)＝x－lnx－1，若对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，均有f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．解　(1)函数f(x)＝alnx－x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝－1＝，①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，∴函数的单调递减区间为(0，＋∞);②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；当x∈(0，a)时，f′(x)>0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞).综上可得，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．(2)由已知，转化为f(x)max<g(x)min.由(1)知，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．故f(x)的极大值即为最大值，f(x)max＝f(a)＝alna－a，∵g(x)＝x－lnx－1，则g′(x)＝1－＝，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)的极小值即为最小值，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴alna－a<0，即lna－1<0，解得0<a<e.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴a的取值范围为(0，e)．3．(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝xlnx.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x≥1时，f(x)≤ax2－a，求a的取值范围．解　(1)f′(x)＝lnx＋1，f′(1)＝1，又f(1)＝0，故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.(2)当x≥1时，令g(x)＝xlnx－a(x2－1)，得g(1)＝0，g′(x)＝lnx＋1－2ax，令h(x)＝lnx＋1－2ax，则h′(x)＝－2a＝.①若a≤0，得h′(x)>0，则g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，故g′(x)≥g′(1)＝1－2a≥0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，从而xlnx－a(x2－1)≥0，不符合题意；②若a>0，令h′(x)＝0，得x＝.(ⅰ)若0<a<，则>1，当x∈时，h′(x)>0，g′(x)在上单调递增，从而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0，所以g(x)在上单调递增，此时g(x)≥g(1)＝0，不符合题意；(ⅱ)若a≥，则0<≤1，h′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0，从而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，所以xlnx－a(x2－1)≤0恒成立．综上所述，a的取值范围是.4．已知函数f(x)＝e2x－ax(a∈R)，e为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的极值；(2)若关于x的不等式a≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围．解　(1)∵f(x)＝e2x－ax，∴f′(x)＝2e2x－a，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)无极值．当a>0时，令f′(x)＝0，得2e2x－a＝0，得x＝ln ，易知当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)的极小值为f ＝－a×ln ＝－ln ，f(x)无极大值．综上，当a≤0时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)的极小值为－ln ，f(x)无极大值．(2)由a≤f(x)得，e2x－ax≥alnx－ax＋a，整理得e2x－alnx－a≥0.令h(x)＝e2x－alnx－a(x>0)，则h(x)≥0恒成立，h′(x)＝2e2x－(x>0)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期当a<0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，且当x→0＋时，h(x)<0，不满足题意．当a＝0时，h(x)＝e2x>0，满足题意．当a>0时，由h(x)≥0得≥.令p(x)＝，则p′(x)＝＝，令q(x)＝－2lnx－1(x>0)，则q′(x)＝－－<0，∴q(x)单调递减，又q(1)＝0，故当x∈(0,1)时，q(x)>0，即p′(x)>0，p(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，q(x)<0，即p′(x)<0，p(x)单调递减，∴p(x)max＝p(1)＝，∴≥，即0<a≤2e2.综上，实数a的取值范围为[0,2e2]．成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期