恒成立与能成立的七类问题【学生版】

恒成立与能成立的七类问题热点题型速览热点一：分离参数法解答恒(能)成立问题热点二：构造函数法解答恒(能)成立问题恒成立问题热点三：最值比较法解答恒(能)成立问题能成立问题热点四：&ldquo;先分离后构造&rdquo;解答恒(能)成立问题&ldquo;隐性&rdquo;恒成立热点五：两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点六：先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题热点七：构造函数法证明恒成立问题热点一分离参数法解答恒(能)成立问题x1(2023&middot;全国&middot;统考高考真题)已知函数fx=ae-lnx在区间1,2上单调递增，则a的最小值为()．2-1-2A.eB.eC.eD.e22(2023春&middot;江苏无锡&middot;高二统考期末)已知函数f(x)=alnx+x，在区间(0,2)上任取两个不相等的实fx1-fx2数x1，x2，若不等式&gt;0恒成立，则实数a的取值范围是()x1-x2A.[-8,+&infin;)B.(-&infin;,-8]C.[0,+&infin;)D.(-&infin;,0]323(2023春&middot;河南南阳&middot;高二统考期末)若fx=log0.5x-3x+ax+6在区间1,2上单调递增，则实数a的取值范围为()A.-&infin;,0B.-1,+&infin;C.-1,0D.-1,024(2023春&middot;北京通州&middot;高二统考期末)已知函数fx=-x+x-alnx为其定义城上的单调函数．则实数a的取值范围为()A.1,+&infin;B.1,+&infin;C.3,+&infin;D.1,+&infin;8482x5(2023春&middot;陕西咸阳&middot;高二统考期末)已知函数fx=ae-x在区间1,2上单调递增，则实数a的最小值为()2-1-2A.eB.eC.eD.e1,6(云南省昆明市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题)已知关于x的不等式a+1xb-1&ge;lnx+b恒成立，则ae的最小值为()111A.-1B.-C.-D.-2487(2023春&middot;新疆喀什&middot;高二统考期末)已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)&gt;0在定义域上恒成立，则a的取值范围是()11A.e,+&infin;B.1,+&infin;C.e,+&infin;D.2,+&infin;方法归纳【规律方法】分离参数法：一般地，若a&gt;f(x)对x&isin;D恒成立，则只需a&gt;f(x)max；若a<f(x)对x∈d恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈d，使a>f(x0)成立，则只需a&gt;f(x)min；若存在x0&isin;D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.热点二构造函数法解答恒(能)成立问题m8(辽宁省五校2022-2023学年高二下学期期末数学试题)已知函数f(x)=(e-1)x的图象恒在g(x)x=e-lnx-m的图象的下方，则实数m的取值范围是()a.(-∞,1)b.(-∞,e-1)c.(0,1)d.(0,e-1)9(贵州省铜仁市2022-2023学年高二下学期7月期末质量监测试数学试题)已知函数fx=lnx，若1存在x0∈,2，使得ffx0+b=x0-b，则实数b的取值范围是()2a.1,1+ln21+ln2,2-ln2b.1,2-ln2c.d.-1,2-ln2221210(2023春·广东广州·高二统考期末)已知函数fx=alnx+x，若对任意正数x1，x2x1≠x2，都2fx1-fx2有>2恒成立，则实数a的取值范围为()x1-x2A.0,1B.0,2C.1,+&infin;D.2,+&infin;x11(2023春&middot;四川凉山&middot;高二宁南中学校联考期末)若e&ge;lnax+a-1x在x&isin;0,2上恒成立，则实数a的取值范围是为()22eeA.-&infin;,eB.0,eC.-&infin;,2D.0,212(2023春&middot;山东聊城&middot;高二统考期末)已知定义域为-&infin;,0&cup;0,+&infin;的函数fx在-&infin;,0上单调递增，且对定义域内任意的a，b都满足fab=fa+fb-1．若存在x&isin;1,+&infin;，使不等式fmx-2,flnx&gt;f-1-1成立，则实数m的取值范围是．1-x313(2023春&middot;安徽&middot;高二校联考期末)已知函数fx=xe+ax-xa&isin;R.1(1)若a=，判断fx在-&infin;,0上的单调性；3(2)若关于x的不等式fx&ge;xlnx+a在1,+&infin;上恒成立，求a的取值范围.方法归纳【规律方法】构造函数的常见类型有：x若fx+fx&gt;0，则构造gx=e&sdot;fx，fx若fx-fx&gt;0，则构造gx=，xe若fx+xfx&gt;0，则构造gx=xfx，fx若fx-xfx&gt;0，则构造gx=.x若f&prime;(x)&gt;a(a&ne;0)，则构造函数：h(x)=f(x)-ax.若f&prime;(x)&plusmn;g&prime;(x)&gt;0，则构造函数：h(x)=f(x)&plusmn;g(x)．若f&prime;(x)g(x)+f(x)g&prime;(x)，则构造函数F(x)=f(x)g(x)f(x)若f&prime;(x)g(x)-f(x)g&prime;(x)，则构造可导函数y=.g(x)3,热点三最值比较法解答恒(能)成立问题xx14(2023&middot;全国&middot;统考高考真题)设a&isin;0,1，若函数fx=a+1+a在0,+&infin;上单调递增，则a的取值范围是.x15(2023春&middot;湖南&middot;高二校联考期末)已知函数fx=ax+ea&gt;0，gx=xe，若&forall;x2&isin;-&infin;,1，&exist;x1&isin;-1,2，使fx1=gx2成立，则实数a的取值范围是.方法归纳【方法技巧】比较函数值的大小，通常有三种类型，一是利用函数的单调性或通过引入-1,0,1等中介值完成解答；二是给出看似独立的几个函数值，通过观察其特征，构造函数，应用导数求解；三是给出抽象函数关系，比较函数值大小，一般也要通过构造函数，应用导数求解，构造函数的常见类型和题型二类似.热点四&ldquo;先分离后构造&rdquo;解答恒(能)成立问题116(2023春&middot;北京&middot;高二北京市第十二中学校考期末)已知函数fx=lnx-x+m，若存在x&isin;,e，e使fx&le;0，则m的取值范围是()1A.-&infin;,1B.-&infin;,1+eC.-&infin;,e-1D.-&infin;,e217(2023春&middot;湖南长沙&middot;高二雅礼中学校考期末)已知函数f(x)=lnx-x+x．(1)证明f(x)&le;0；2xx2(2)关于x的不等式-+lnx-ax+x&le;0恒成立，求实数a的取值范围．ax2xee4,热点五两次构造函数，解答恒(能)成立问题sinx&pi;18(2023&middot;全国&middot;统考高考真题)已知函数f(x)=ax-,x&isin;0,cos3x2(1)当a=8时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围．x219(2023春·甘肃临夏·高二统考期末)设函数fx=e，gx=mx+x+1m∈r．(1)求证：fx≥x+1；(2)若当x∈0,+∞时，fx≥gx恒成立，求m的取值范围．5,热点六先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题220(2023春·天津滨海新·高二统考期末)已知函数fx=lnx-mx+1-2mx+1，m∈r.(1)若f1=-1，求m的值及函数fx的极值；(2)讨论函数fx的单调性：(3)若对定义域内的任意x，都有fx≤0恒成立，求整数m的最小值.x221(2023春·山东济宁·高二统考期末)已知函数fx=ae-x．(1)讨论fx的单调性;12(2)设函数gx=xlnx-x，若对任意x∈0,+∞，不等式fx<gx恒成立，求a的取值范围．26,热点七构造函数法证明恒成立问题x22(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx=ae+a-x．(1)讨论fx的单调性；3(2)证明：当a>0时，fx&gt;2lna+．2x1223(2023春&middot;广东广州&middot;高二统考期末)已知函数fx=axe-(x+1),a&isin;R．2(1)讨论函数fx的单调性；12(2)当a&gt;1时，令gx=lnx-x-1，求证：fx&gt;gx27</sin2x恒成立，求a的取值范围．x219(2023春·甘肃临夏·高二统考期末)设函数fx=e，gx=mx+x+1m∈r．(1)求证：fx≥x+1；(2)若当x∈0,+∞时，fx≥gx恒成立，求m的取值范围．5,热点六先分离参数、再两次构造函数，解答恒(能)成立问题220(2023春·天津滨海新·高二统考期末)已知函数fx=lnx-mx+1-2mx+1，m∈r.(1)若f1=-1，求m的值及函数fx的极值；(2)讨论函数fx的单调性：(3)若对定义域内的任意x，都有fx≤0恒成立，求整数m的最小值.x221(2023春·山东济宁·高二统考期末)已知函数fx=ae-x．(1)讨论fx的单调性;12(2)设函数gx=xlnx-x，若对任意x∈0,+∞，不等式fx<gx恒成立，求a的取值范围．26,热点七构造函数法证明恒成立问题x22(2023·全国·统考高考真题)已知函数fx=ae+a-x．(1)讨论fx的单调性；3(2)证明：当a></f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.热点二构造函数法解答恒(能)成立问题m8(辽宁省五校2022-2023学年高二下学期期末数学试题)已知函数f(x)=(e-1)x的图象恒在g(x)x=e-lnx-m的图象的下方，则实数m的取值范围是()a.(-∞,1)b.(-∞,e-1)c.(0,1)d.(0,e-1)9(贵州省铜仁市2022-2023学年高二下学期7月期末质量监测试数学试题)已知函数fx=lnx，若1存在x0∈,2，使得ffx0+b=x0-b，则实数b的取值范围是()2a.1,1+ln21+ln2,2-ln2b.1,2-ln2c.d.-1,2-ln2221210(2023春·广东广州·高二统考期末)已知函数fx=alnx+x，若对任意正数x1，x2x1≠x2，都2fx1-fx2有></f(x)对x∈d恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈d，使a>