2023届高三数学一轮复习大题专练02导数恒成立问题2

一轮大题专练2—导数（恒成立问题2）1．已知函数，．（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围．（Ⅰ）证明：令，，（1）当时，，因为，所以在，上单调递增，且，当时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增，所以，所以；（2）当时，则，所以．综上所述，当时，．（Ⅱ）解：令，，则，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，下证当时，在，上恒成立，因为，令，只需证明在，上恒成立，-9- （1）当时，，，因为在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以，所以在，上单调递减，所以；（2）当时，．综上所述，实数的取值范围是，．2．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：为自然对数的底数）恒成立．解：（1）的定义域为，，分当时，恒成立，所以在上单调递增；分当时，令，得到．所以，当时，，则在上单调递增；当，时，，则在，上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在，上单调递减分（2）证明：记函数，则，分易知在上单调递增，又由（1），（2）知，在上有唯一的实数根，分且，则，-9- 即，分当时，，则在上单调递减，当，时，，则在，上单调递增，所以，结合，知，分所以，分则，即，所以为自然对数的底数）恒成立分3．已知函数，，其中为自然对数的底数，．（1）若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围；（2）若函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围．解：（1）对任意的，，总存在，，使得，，．，，．，在，上单调递增，（1）．，，．，①时，，函数在，上单调递增，（1），解得．②时，，不成立，舍去．③时，，函数在，上单调递减，，而，舍去．-9- 综上可得：的取值范围是，．（2）函数的图象始终在函数的图象上方，即，，也即，．令，．，时，，函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去．时，函数在上单调递增，存在唯一使得，即，．，解得．的取值范围是，．4．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为函数，，所以，当时，，在，上单调递减，当时，，在，上单调递增，当时，令，解得，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减．综上所述，当时，在，上单调递减；当时，在，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，-9- 令，又，故不等式等价于对任意恒成立，，所以，即，解得，当时，，恒成立，故，故当时，对任意恒成立，所以的取值范围为，．5．已知函数．（1）若直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求实数的取值集合．解：（1），，设切点为，，则，代入直线得：，即，，令，有（1），，在单调递增，方程有唯一解，；（2），，恒成立，-9- 设，则，令，，△，有2个不相等实根，，则，不妨设，当，，当，，，在单调递减，在，单调递增，，由得到，，令，则，当时，，当时，，则在单调递增，在单调递减，（1），，，则，故，实数的取值集合是．6．设函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若为的导函数）在上恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，，所以，-9- 令，所以，当时，，故为增函数；当时，，故为减函数，所以（1），即，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．（Ⅱ）因为，所以且，所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，令，，则且（1），当时，恒成立，故在上为增函数，所以（1），即时不满足题意；当时，由，得，若，则，故在，上为减函数，在上为增函数，所以存在，使得（1），即时不满足题意；若，，则，故在上为减函数，所以（1），所以恒成立，故符合题意．综上所述，实数的取值范围是，．7．已知为自然对数的底数，函数．（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当，时，恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，由（1），得，-9- 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增．（2）令，，，当，时，恒成立等价于恒成立，由于，，，所以当时，，函数在，上单调递增，所以，在区间，上恒成立，符合题意，当时，在，单调递增，，①当时，即时，，函数在，单调递增，所以在，恒成立，符合题意，②当即时，，，若，即时，在恒小于0，则在单调递减，，不符合题意，若，即时，存在使得，所以当时，，则在上单调递减，所以，不符合题意，-9- 综上所述，的取值范围是，．8．已知函数．（1）若曲线在点处的切线为，求，；（2）当时，若关于的不等式在，上恒成立，试求实数的取值范围．解：（1）函数的导数，根据函数导数的几何意义，可得（1），即．则，点坐标为点在直线上故，．（2）当时，关于的不等式在，上恒成立，，设，则，由的导数为，可得时，，函数递增，时，函数递减，则，即，当时，，则在，递增，可得，则．-9-