2023届高三数学一轮复习大题专练10导数双变量与极值点偏移问题2

一轮大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）1．已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数．（Ⅰ）若，，（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则．（Ⅰ）解：（ⅰ）当，，时，，则（1），，所以（1），故切点坐标为，切线的斜率为0，故切线方程为；由可得，，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，①当时，无零点；②当时，在区间，上单调递减，且，所以是在，上的唯一零点；③当时，在区间上单调递减，且又（1），，所以在区间，上仅有一个零点．-8- 综上所述，当时，在区间，上无零点；当时，在区间，上仅有一个零点；（Ⅱ）证明：当，，当时，，令，，不妨设，，令，其中，因为，所以当时，，故若，且，则．2．已知函数．（1）当，时，求的单调区间；（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；（3）设，若有两个相异零点，，求证：．解：（1）当，时，，，，令，则，令，则，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由题可得，-8- 函数有两个不同的极值点，，方程有两个不相等的正实数根，于是有解得．不等式有解，．．设（a），（a），故（a）在上单调递增，故（a），．故实数的取值范围为．（3），设的两个相异零点为，，设，欲证，需证．，，，，，．要证，即证，即，即，设上式转化为，设，，在上单调递增，（1），-8- ，，．3．已知函数．（1）求函数的图象在点，处的切线方程；（2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．（1）解：函数，则，则，又，则切点为，切线的斜率为1，所以的图象在点，处的切线方程为，即；（2）证明：令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得极大值，即为极大值点，不妨设，由题意可知，，令，则，因为，所以，则单调递减，又，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，所以，因为，，又在上单调递增，-8- 所以，故．4．已知函数有两个不同的零点，，且．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若不等式对任意的，恒成立，求实数的最大值；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）显然不是的零点，令，则，依题意，直线与函数的图象有两个交点，又，则函数在，上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，（1），其草图如下，由图象可知，实数的取值范围为；（Ⅱ），即，，的一个必要条件是，又，，则，当时，，，，单调递增，而，-8- 在，上单调递增，故，符合题意，实数的最大值为2；（Ⅲ）证明：易知，，，，，，，即，即，要证，即证，只需证，记，则，易知在上单调递增，（e），即得证．5．已知，．（Ⅰ）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．（Ⅰ）解：，，由（1），得．（Ⅱ）证明：有两个零点，即有两个不等根，，即，即．令，则．-8- 记，则．记，则，所以（3），即，即在上单调递增，即（3），所以，所以．6．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：．（1）解：的定义域为，且．当时，，则在上单调递增．当时，若，则，在上单调递增；若，则，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：当时，，，所以，所以．要证，即证．因为，所以，即证．-8- 令，则，即证．令，则，所以在上单调递减，所以（1），即，．①令，则，所以在上单调递增，则（1），即．②综合①②得，所以．-8-