2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2

一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）1．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，．解：（1）函数的定义域为，，令，当时，，此时在上单调递减；当时，为二次函数，△，①若△，即时，的图象为开口向下的抛物线且，则，此时在上5单调递减；②当△，即或时，令，解得，当时，的图象为开口向下的抛物线，，当，，时，，则，单调递减，当，时，，则，单调递增；当时，的图象为开口向上的抛物线，，当，，则，单调递减，当，，，则，单调递增；综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；-8- 当时，在上单调递减．（2）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，因此对任意恒有（1），即，又，要证，只需证，令，则，，，，则在，上单调递增，又（1），当时，恒成立，则在，上单调递增，又（1），对任意恒有（1），即，即得证．2．已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）已知关于的方程有两个实根，，当时，求证：．解：（1），，，故时的切线方程是，即；（2）证明：由（1）知：在递减，在递增，，，当时，方程有2个实根，，则，，令，则，-8- 令，则，故在递增，故，故在递增，故，故，故，故，故时，，故，故．3．已知函数与．是自然对数的底数，（1）讨论关于的方程根的个数；（2）当，时，证明：．解：（1）令，，，当时，不满足当时，，，，，因此在区间上单调递增，（1），在区间上单调递减，，，根据零点定理，在上存在唯一零点．当，，，，，，，在上单调递增，（1），（e），根据零点定理，在上存在唯一零点，-8- 因此，根的个数为2个．（2）设，，，在，上单调递减，在，上单调递减，，所以，，要证明，仅需要证明，设，，当，，在该区间上单调递增，所以，，所以，，综上所述，当，时，．4．已知．（1）求的单调区间；（2），若有两个零点，，且．求证：．（左边和右边两个不等式可只选一个证即可）解：（1），当时，，在单调递增；当时，令，解得，令，解得，在单调递增，在单调递减；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为-8- ，单调递减区间为；（2）证明：，令，则，设，则，易知函数在单调递减，在单调递增，且时，，当时，，（1），，又，则，①若证所证不等式的左边，即，即证，又（b），则，故即证，即证，设（b），，则，（b）在上单调递减，（b）（1），即得证；②若证所证不等式的右边，即，即证，即证，又（a），即，故即证，即证，设（a），，则，（a）在单调递减，故（a）（1），即得证．5．已知函数，且函数与有相同的极值点．（1）求实数的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．-8- 解：（1）令，解得，易知函数在单调递增，在单调递减，故函数的极大值点为，令，则由题意有，（1），解得，经验证符合题意，故实数的值为1；（2）由（1）知，函数在单调递增，在单调递减，又，且，当时，（1），（3），①当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，，又，此时的取值范围为；②当，即时，对，不等式恒成立，即为恒成立，则，，又，此时的取值范围为，综上，实数的取值范围为，，；（3）证明：所证不等式即为，下证：，即证，设，则，，易知函数在上单调递减，且，-8- 故存在唯一的，使得，即，，且当时，，单调递增，当，时，，单调递减，，在单调递减，又时，，故，即；再证：，即证在上恒成立，设，，在单调递增，则，故，综上，，即得证．6．已知函数．（1）讨论的极值情况；（2）若时，，求证：．解：（1）的定义域是，，①时，，在上单调递增，无极值，②时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故，无极大值；综上：时，在上单调递增，无极值，时，，无极大值；（2）证明：①时，，使，则，，此时成立，②时，由（1）得时，，-8- ，则，解得：，故，设，则，为上的减函数，且，，则存在唯一实数，，使得，，当时，，递增，当，时，，递减，故当时，的最大值是，为，上的增函数，时，，则，故（a），原结论成立．-8-