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全国通用版2022高考数学二轮复习压轴大题突破练四函数与导数2理
全国通用版2022高考数学二轮复习压轴大题突破练四函数与导数2理
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(四)函数与导数(2)1.(2022·江西省重点中学协作体联考)已知f(x)=ex,g(x)=x2+ax-2xsinx+1.(1)证明:1+x≤ex≤(x∈[0,1));(2)若x∈[0,1)时,f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(1)证明 设h(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1,故h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.从而h(x)≥h(0)=0,即ex≥1+x.而当x∈[0,1)时,e-x≥1-x,即ex≤.(2)解 设F(x)=f(x)-g(x)=ex-(x2+ax-2xsinx+1),则F(0)=0,F′(x)=ex-(2x+a-2xcosx-2sinx).要求F(x)≥0在[0,1)上恒成立,必须有F′(0)≥0.即a≤1.以下证明:当a≤1时,f(x)≥g(x).只要证1+x≥x2+x-2xsinx+1,只要证2sinx≥x在[0,1)上恒成立.令φ(x)=2sinx-x,则φ′(x)=2cosx-1>0对x∈[0,1)恒成立,又φ(0)=0,所以2sinx≥x,从而不等式得证.2.(2022·宿州质检)设函数f(x)=x+axlnx(a∈R).8\n(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)的极大值点为x=1,证明:f(x)≤e-x+x2.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+alnx+a,当a=0时,f(x)=x,则函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,由f′(x)>0得x>,由f′(x)<0得0<x<.所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;当a<0时,由f′(x)>0得0<x<,由f′(x)<0得x>,所以函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.综上所述,当a=0时,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,函数f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增;当a<0时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.(2)证明 由(1)知a<0且=1,解得a=-1,f(x)=x-xlnx.要证f(x)≤e-x+x2,即证x-xlnx≤e-x+x2,即证1-lnx≤+x.令F(x)=lnx++x-1(x>0),则F′(x)=++1=.令g(x)=x-e-x,8\n得函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.而g(1)=1->0,g(0)=-1<0,所以在区间(0,+∞)上存在唯一的实数x0,使得g(x0)=x0-=0,即x0=,且x∈(0,x0)时,g(x)<0,x∈(x0,+∞)时,g(x)>0.故F(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.∴F(x)min=F(x0)=lnx0++x0-1.又=x0,∴F(x)min=lnx0++x0-1=-x0+1+x0-1=0.∴F(x)≥F(x0)=0成立,即f(x)≤e-x+x2成立.3.(2022·皖江八校联考)已知函数f(x)=.(1)若a≥0,函数f(x)的极大值为,求实数a的值;(2)若对任意的a≤0,f(x)≤在x∈[0,+∞)上恒成立,求实数b的取值范围.解 (1)由题意,f′(x)=[(2ax+1)e-x-(ax2+x+a)e-x]=-e-x[ax2+(1-2a)x+a-1]=-e-x(x-1)(ax+1-a).①当a=0时,f′(x)=-e-x(x-1),令f′(x)>0,得x<1;令f′(x)<0,得x>1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以f(x)的极大值为f(1)=≠,不合题意.②当a>0时,1-<1,8\n令f′(x)>0,得1-<x<1;令f′(x)<0,得x<1-或x>1,所以f(x)在上单调递增,在,(1,+∞)上单调递减.所以f(x)的极大值为f(1)==,得a=2.综上所述a=2.(2)令g(a)=+,a∈(-∞,0],当x∈[0,+∞)时,>0,则g(a)≤对∀a∈(-∞,0]恒成立等价于g(a)≤g(0)≤,即≤bln(x+1)对x∈[0,+∞)恒成立.①当b=0时,显然≤bln(x+1)在[0,+∞)上不恒成立.②当b<0时,∀x∈(0,+∞),bln(x+1)<0,>0,此时>bln(x+1),不合题意.③当b>0时,令h(x)=bln(x+1)-,x∈[0,+∞),则h′(x)=-(e-x-xe-x)=,其中(x+1)ex>0,∀x∈[0,+∞),令p(x)=bex+x2-1,x∈[0,+∞),则p(x)在区间[0,+∞)上单调递增,b≥1时,p(x)≥p(0)=b-1≥0,所以对∀x∈[0,+∞),h′(x)≥0,从而h(x)在[0,+∞)上单调递增,所以对任意x∈[0,+∞),h(x)≥h(0)=0,即不等式bln(x+1)≥xe-x在[0,+∞)上恒成立.8\n0<b<1时,由p(0)=b-1<0,p(1)=be>0及p(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得p(x0)=0,且x∈(0,x0)时,p(x)<0.从而x∈(0,x0)时,h′(x)<0,所以h(x)在区间(0,x0)上单调递减,则x∈(0,x0)时,h(x)<h(0)=0,即bln(x+1)<xe-x,不符合题意.综上所述,b的取值范围为[1,+∞).4.(2022·合肥模拟)已知函数f(x)=-ax.(1)讨论函数f(x)的零点个数;(2)已知g(x)=(2-x)e,证明:当x∈(0,1)时,g(x)-f(x)-ax-2>0.(1)解 f(x)=lnx-a·x.令x=t,∴x=(t>0).令h(t)=lnt-at,则函数y=h(t)与y=f(x)的零点个数情况一致.h′(t)=-a.(ⅰ)当a≤0时,h′(t)>0,∴h(t)在(0,+∞)上单调递增.又h(1)=-a≥0,=a+-ae≤a+-a·=a+<0,∴此时有1个零点.(ⅱ)当a>0时,h(t)在上单调递增,在上单调递减.∴h(t)max=h=ln-1.8\n①当ln <1即a>时,h<0,无零点.②当ln =1即a=时,h=0,1个零点.③当ln >1即0<a<时,h>0,又>e>1,h(1)=-a<0.又-=<(1-e)<0,h=ln2-a·=2ln-,令φ(a)=2ln-,φ′(a)=2·+=>0,∴φ(a)在上单调递增,∴φ(a)<φ=2-e<0,∴此时有两个零点.综上,当a≤0或a=时,有1个零点;当0<a<时,有2个零点;当a>时,无零点.(2)要证g(x)-f(x)-ax-2>0,只需证+2<(2-x)e.令=m∈(0,1),只需证+2<(2-m2)em.令l(m)=(2-m2)em,l′(m)=(-m2-2m+2)em,∴l(m)在(0,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,又∵l(1)=e,l(0)=2,∴l(m)>2.令t(m)=,t′(m)=>0,∴t(m)在(0,1)上单调递增,8\n∴t(m)<t(1)=0,∴+2<2,故g(x)-f(x)-ax-2>0.5.(2022·洛阳模拟)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2,其中t∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当t=3时,证明:不等式f(x1+x2)-f(x1-x2)>-2x2恒成立(其中x1∈R,x2>0).(1)解 由于f′(x)=xex-tx=x(ex-t).(ⅰ)当t≤0时,ex-t>0,当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减;(ⅱ)当t>0时,由f′(x)=0得x=0或x=lnt.①当0<t<1时,lnt<0,当x>0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当lnt<x<0时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x<lnt时,f′(x)>0,f(x)单调递增;②当t=1时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;③当t>1时,lnt>0.当x>lnt时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当0<x<lnt时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增.综上,当t≤0时,f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数;当0<t<1时,f(x)在(-∞,lnt),(0,+∞)上是增函数,在(lnt,0)上是减函数;当t=1时,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数;当t>1时,f(x)在(-∞,0),(lnt,+∞)上是增函数,在(0,lnt)上是减函数.(2)证明 依题意f(x1+x2)-f(x1-x2)>(x1-x2)-(x1+x2)⇔f(x1+x2)+(x1+x2)>f(x1-x2)+(x1-x2)恒成立.设g(x)=f(x)+x,则上式等价于g(x1+x2)>g(x1-x2),要证明g(x1+x2)>g(x1-x2)对任意x1∈R,x2∈(0,+∞)恒成立,8\n即证明g(x)=(x-1)ex-x2+x在R上单调递增,又g′(x)=xex-3x+1,只需证明xex-3x+1≥0即可.令h(x)=ex-x-1,则h′(x)=ex-1,当x<0时,h′(x)<0,当x>0时,h′(x)>0,∴h(x)min=h(0)=0,即∀x∈R,ex≥x+1,那么,当x≥0时,xex≥x2+x,∴xex-3x+1≥x2-2x+1=(x-1)2≥0;当x<0时,ex<1,xex-3x+1=x>0,∴xex-3x+1>0恒成立.从而原不等式成立.8
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:49:19
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文章作者:U-336598
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