全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略高考压轴大题突破练三函数与导数

高考压轴大题突破练(三)函数与导数(1)1．已知函数f(x)＝x2＋2alnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝＋f(x)在区间[1,4]上是单调递增函数，求实数a的取值范围．2．已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)．(1)当a＝时，如果函数g(x)＝f(x)－k仅有一个零点，求实数k的取值范围；(2)当a＝2时，试比较f(x)与1的大小．7\n3．(2022·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤－1.4．已知函数f(x)＝alnx－.(1)求函数在点(1，－)处的切线方程；(2)当a＝2时，求函数的单调区间与函数在[1,3]上的最值；(3)设h(x)＝x2－2bx＋4，a＝－2，若对于任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[2,3]，使得f(x1)≥h(x2)成立，试确定b的取值范围．7\n答案精析高考压轴大题突破练(三)函数与导数(1)1．解　(1)因为f(x)＝x2＋2alnx(a∈R)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋＝.①当a≥0时，f′(x)>0，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，令f′(x)＝0⇒x2＋2a＝0⇒x2＝－2a，解得x＝或x＝－(舍去)．所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，]，单调递增区间是[，＋∞)．综上，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0，]，单调递增区间是(，＋∞)．(2)因为g(x)＝＋f(x)＝＋x2＋2alnx，所以g′(x)＝－＋x＋＝，因为g(x)＝＋f(x)在区间[1,4]上是单调递增函数，所以g′(x)≥0，即x3＋2ax－2≥0在区间[1,4]上恒成立，即2a≥－x2在区间[1,4]上恒成立．设h(x)＝－x2(x∈[1,4])，则h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)<0，所以h(x)在[1,4]上单调递减，则h(x)∈[－，1]．7\n所以2a≥1，即a≥.故实数a的取值范围为[，＋∞)．2．解　(1)当a＝时，f(x)＝lnx＋，定义域是(0，＋∞)．f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝2.因为当0<x<或x>2时，f′(x)>0，当<x<2时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，)，(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减．所以f(x)的极大值是f()＝3－ln2，极小值是f(2)＝＋ln2.因为当x→0时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以当g(x)仅有一个零点时，k>3－ln2或k<＋ln2.故实数k的取值范围为(－∞，＋ln2)∪(3－ln2，＋∞)．(2)当a＝2时，f(x)＝lnx＋，定义域为(0，＋∞)．令h(x)＝f(x)－1＝lnx＋－1，因为h′(x)＝－＝>0，所以h(x)在(0，＋∞)上是增函数．①当x>1时，h(x)>h(1)＝0，即f(x)>1；②当0<x<1时，h(x)<h(1)＝0，即f(x)<1；③当x＝1时，h(x)＝h(1)＝0，即f(x)＝1.3．(1)解　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立．∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明　∵f(0)＝1－a，f(a)7\n＝(1＋a2)ea－a，∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一零点，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上递增，∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明　f′(x)＝(x＋1)2ex，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝e(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，把x0＝－1，代入y＝f(x)得y0＝－a，∴kOP＝a－.f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.令g′(x)>0，则m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上递增．令g′(x)<0，则m<0，∴g(m)在(－∞，0)上递减．∴g(m)min＝g(0)＝0.∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.∴m＋1≤，即m≤－1.4．解　(1)因为f(1)＝－，所以(1，－)在函数的图象上，又f(x)＝alnx－，7\n所以f′(x)＝－，f′(1)＝a－，所以所求切线的方程为y＋＝(a－)(x－1)，即y＝(a－)x－a－.(2)当a＝2时，f(x)＝2lnx－，f′(x)＝－＝＝＝，令f′(x)>0，则x>2或0<x<，令f′(x)<0，则<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，＋∞)，单调递减区间为(，2)．当x∈[1,3]时，可知函数f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，所以最小值为f(2)＝2ln2－5.又f(1)＝－，f(3)＝2ln3－，且f(3)－f(1)＝2ln3－<0，所以f(1)>f(3)．所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为2ln2－5，最大值为－.(3)若对于任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[2,3]，使f(x1)≥h(x2)，则f(x1)min≥h(x2)min，又a＝－2，则f(x)＝－2lnx－，f′(x)＝－－<0，所以f(x)在[1,2]上单调递减，f(x1)min＝f(2)＝－2ln2－5.所以x2－2bx＋4≤－2ln2－5⇒2b≥，设函数g(x)＝，7\n则g(x)在[2,3]上单调递减，所以2b≥g(x)min＝g(3)＝，即b≥.所以b的取值范围为[，＋∞)．7