全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略高考压轴大题突破练二直线与圆锥曲线

高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1.已知B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的一点，F是椭圆右焦点，且BF⊥x轴，B.(1)求椭圆E的方程；(2)设A1和A2是长轴的两个端点，直线l垂直于A1A2的延长线于点D，|OD|＝4，P是l上异于点D的任意一点．直线A1P交椭圆E于M(不同于A1，A2)，设λ＝·，求λ的取值范围．2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－(p>0)．若抛物线C：y2＝2px上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若以抛物线C上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使点Q在以MN为直径的圆上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7\n3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)过点(10,0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝x－1上，求l的方程．7\n4．(2022·四川)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.(1)求椭圆E的方程；(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7\n答案精析高考压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1．解　(1)依题意得半焦距c＝1，设左焦点为F′，∴|FF′|＝2c＝2，又∵|BF|＝，BF⊥x轴，∴在Rt△BFF′中，|BF′|＝＝，∵2a＝|BF|＋|BF′|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝22－12＝3.所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)由(1)知，A1(－2,0)，A2(2,0)．设M(x0，y0)．∵M在椭圆E上，∴y＝(4－x)．由P，M，A1三点共线可得P.∴＝(x0－2，y0)，＝.∴·＝2(x0－2)＋＝(2－x0)，∵－2<x0<2，∴λ＝·∈(0,10)．2．解　(1)当直线l1与抛物线无公共点时，由题意知l2为抛物线C的准线，抛物线焦点坐标为F(，0)．由抛物线定义知，抛物线C上的点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离，所以抛物线C上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值转化为焦点F到直线l1的距离，所以2＝，则p＝2.当直线l1与抛物线C有公共点时，联立消去x，得2y2－3py＋6p＝0，由Δ1＝9p2－48p≥0且p>0，得p≥.此时抛物线上的点到直线l2的最短距离为≥>2，不满足题意．7\n所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l斜率存在，设为k，且k≠0，所以直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入y2＝4x，消去x，得ky2－4y＋4y0－ky＝0.由Δ2＝16－4k(4y0－ky)＝0，得k＝，所以直线l的方程为y－y0＝(x－x0)，令x＝－1，由y＝4x0，得N(－1，)．设Q(x1,0)，则＝(x0－x1，y0)，＝(－1－x1，)，由题意知·＝0，即(x0－x1)(－1－x1)＋＝0，把y＝4x0代入上式，得(1－x1)x0＋x＋x1－2＝0.因为对任意的x0等式恒成立，所以解得x1＝1.所以在x轴上存在定点Q(1,0)，使点Q在以MN为直径的圆上．3．解　(1)由椭圆过点(0,4)，知b＝4.又e＝＝，所以＝，解得a＝5.所以C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(a，a－1)，则＋＝1，＋＝1.两式相减并变形，得＋＝0，因为x1＋x2＝2a，y1＋y2＝2(a－1)，＝kAB＝，7\n所以＋·＝0.解得a＝或a＝5.当a＝5时，点M(5,4)在椭圆外部，不符合要求，所以kAB＝＝.故直线l的方程为y＝(x－10)，即4x－45y－40＝0.4．解　(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，因此解得a＝2，b＝，所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0，y0)．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)，由＝，有＝，解得y0＝1，或y0＝2，所以，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为(0,2)，下面证明：对任意直线l，均有＝，当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立，当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，7\n所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，因此＋＝＝2k，易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)，又kQA＝＝＝k－，kQB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线，所以＝＝＝，故存在与P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立．7