全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略高考压轴大题突破练一直线与圆锥曲线

高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．(2022·陕西)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．7\n2．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．7\n3．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)若m＝1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，＋恒为定值？4．(2022·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．7\n答案精析高考压轴大题突破练(一)直线与圆锥曲线(1)1．解　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)方法一　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且|AB|＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2.于是|AB|＝|x1－x2|＝＝，由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.方法二　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②依题意，点A，B关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0，7\n易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝＝，因此直线AB的方程为y＝(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，于是|AB|＝|x1－x2|＝＝.由|AB|＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.2．解　(1)由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立即则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0，由根与系数的关系知又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．∴－x1＝2x2，∴∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝>0，7\n得<m2<4，此时Δ>0.∴m的取值范围为∪.3．解　(1)当m＝1时，M(1,0)，此时点M为抛物线C的焦点．直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，所以圆心坐标为(3,2)．又|AB|＝x1＋x2＋2＝8，所以圆的半径为4，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.(2)由题意可设直线l的方程为x＝ky＋m，则直线l的方程与抛物线C：y2＝4x联立，消去x得，y2－4ky－4m＝0，则y1y2＝－4m，y1＋y2＝4k，＋＝＋＝＋＝＝＝＝，若＋对任意k∈R恒为定值，则m＝2，此时＋＝.所以存在定点M(2,0)，满足题意．4．解　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.7\n将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．7