2023届高三数学一轮复习大题专练09导数双变量与极值点偏移问题1

一轮大题专练9—导数（双变量与极值点偏移问题1）1．已知定义在，上的函数．（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，，，为的极小值，求证：．解：（1）由，得，为，上的增函数，，，，设，，为减函数，，时为定义域上的增函数，故实数的取值范围是，；（2）证明：，，，设，，为增函数，，，，，当时，，递减，当，时，，递增，为的极小值，设，，，，设，，，，，为增函数，，，为增函数，-8- ，，，，又，，，，即．2．已知函数．（Ⅰ）求函数在的最大值；（Ⅱ）证明：函数在有两个极值点，，并判断与的大小关系．（Ⅰ）解：函数，所以，则，所以当时，，故，所以函数在上单调递增，又，，所以在上有唯一的零点，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，所以在上的最大值为；（Ⅱ）证明：，①当时，单调递增，又，，-8- 所以在有唯一的零点，此时当时，，则单调递减，当时，，则单调递减，故是极小值点，不妨设；②当时，，所以，故在上单调递增，故没有极值点；③当，，由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，且，，故由唯一的零点，则当时，，则单调递减，当，时，，则单调递增，又，，所以在由唯一的零点，此时时，，则单调递增，当，时，，所以是极大值点，即，且，由于，所以，因为，所以，即．-8- 3．已知函数，．（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：．解：（1）由题意得，令，则，①当△，即时，在上恒成立，即的递增区间是，②当△，即时，或，即在，，递增，综上：时，的递增区间是，时，的递增区间是，，；（2），有2个极值点，，，是方程的两个不相等的正实数根，从而△，，解得：，由，解得：，，且，令，且，则，故当时，，故单调递增，当时，，单调递增，故，要证，只要证，只要证明，，只要证明，-8- 令，则，，，即在，递增，故（1），即，故，．4．已知函数在处的切线方程为．（1）求实数及的值；（2）若有两个极值点，，求的取值范围并证明．解：（1），切线方程为，，，又，；（2）由（1）可知，则，，当时，，在递增，没有极值点，当时，令，其对称轴方程为，△，①若时，△，此时，在上递减，没有极值点，②若时，△，由，即，则的两根为，，不妨设，由，（1），，故，，，，的变化如下：，，-8- 0000递减极小值递增极大值递减综上，的取值范围是，，此时，，故，由，，得，故．5．已知函数为单调减函数，的导函数的最大值不小于0．（1）求的值；（2）若，求证：．（1）解：因为为单调减函数，所以恒成立，所以在上恒成立，由于当时，，所以，解得，因为，当且仅当时，取得最大值为，由题意可得，，解得，综上可得，的值为；（2）证明：由（1）可知，，所以，因为，且在上单调递减，可设，令，，-8- 所以，所以在，上单调递减，所以（1）（1），故，，因为，所以，因为为上的单调递减函数，所以，故．6．已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若函数有两个极值点，，求证：．解：（1）当时，，则，所以（1），又（1），所以切线方程为，即．（2）证明：由题意得，则，因为函数有两个极值点，，所以有两个不相等的实数根，，令，则，①当时，恒成立，则函数为上的增函数，故在上至多有一个零点，不符合题意；-8- ②当时，令，得，当，时，，故函数在，上单调递减；当，时，，故函数在，上单调递增，因为函数有两个不相等的实数根，，所以，得，不妨设，则，，又，所以，，令，则，所以函数在上单调递增，由，可得，即，又，是函数的两个零点，即，所以，因为，所以，又，函数在，上单调递减，所以，即，又，所以，因此．-8-