2023届高三数学一轮复习大题专练07导数构造函数证明不等式1

一轮大题专练7—导数（构造函数证明不等式1）1．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．解：（1），．，时，，函数在上单调递增．时，令，解得，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，要证明：，即证明，令，，令，解得；令，解得．函数在上单调递增，在上单调递减．时，函数取得极大值即最大值，（e）．令，，令，解得；令，解得．函数在上单调递减，在上单调递增．时，函数取得极小值即最小值，（2）．．，即，也即．-9- 2．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：．（Ⅰ）解：由，可得，则（1），又（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：的定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，才有两个不相等的实根，且，则要证，即证，即证，而，则，否则方程不成立），所以即证，化简得，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以（1），而，所以，-9- 所以，得证．3．已知函数，函数，（1）记，试讨论函数的单调性，并求出函数的极值点；（2）若已知曲线和曲线在处的切线都过点．求证：当时，．解：（1），，记，当时，，在单调递增，无极值点，当时，△，有异号的两根，，，，，在单调递减，，，，，在，单调递减，有极小值点；（2）证明：，，（1），在处的切线方程为，过点得：，（1），在处的切线方程为，过点得：，，，要证：，即证：，即证：，构造函数，则，时，，时，，在单调递减，时，，在单调递增，-9- （1），故原不等式成立．4．已知函数在处取得极值．（Ⅰ）若对，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，记函数在，上的最大值为，证明：．（Ⅰ）解：，则，又在处取得极值，则有（1），解得，此时，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以确实在处取得极值，故，设，则在上恒成立，即在上恒成立，因为，当，即时，在上恒成立，不符合题意；当时，令，解得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值，要使得在上恒成立，则有，解得，-9- 综上所述，实数的取值范围为，；（Ⅱ）证明：要证，即证明即可，因为，则，因为，时，恒成立，设，，，则为单调递增函数，又，则存在，使得，即，则当时，，，则，故单调递增，当，时，，且不同时为0，则，故单调递减，所以在，上的最大值为，又，则，，设，，则对于恒成立，故在上单调递增故，，于是，故．5．已知函数，对于，恒成立．（1）求实数的取值范围；（2）证明：当时，．解：（1）由恒成立，得对恒成立，-9- 令，，当，，单调递增，当，，单调减，，故所求实数的取值范围为，；（2）证明：由（1）得．欲证，只需证即可，令，，令，则易知在单调递增，且，，故存在，使得；当，时，，，单调递减，当时，，，单调递增，又，，，故当时，．6．已知函数，．（Ⅰ）已知恒成立，求的值；（Ⅱ）若，求证：．解：（1）已知恒成立，即恒成立，令，则有，当时，则恒有，此时函数单调递增，并且当时，，不满足题意；，此时令；-9- ；，即函数在上单调递减，在上单调递增，，若要满足题意，则需使，恒成立，令（a），则有（a），由此可得，当时，（a）；当时，（a）．（a）（1），即得（a），．（2）令，则有恒成立，故可得在上单调递增，即有恒成立，故有在上恒成立；根据题意，要证，即证明，即证，即证，令，则有，，，，在上恒成立，即得函数在上单调递减，（1），由此得证当时，原不等式成立．7．已知函数，的反函数为（其中为的导函数，．（1）判断函数在上零点的个数；（2）当，求证：．解：（1）由题意得，-9- 则，由得或，由，得或，由，得，当在上变化时，，变化情况如下表：，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增根据上表知，（1），，根据零点的存在性定理，函数在上存在唯一零点，又因为（1），所以根据的单调性可知，函数在上零点的个数为2．（2）证明：因为，其反函数为，所以不等式为，当时，，所以在上单调递减，所以（1），设函数，则，设函数，则，所以在上单调递增，因为（1），-9- 所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，当时，，当，时，，（1），所以存在，使得，所以当时，，当，时，，所以函数在上单调递减，在，上单调递增，因为，（1），所以当时，，所以，所以．-9-