浙江省2022版高考数学一轮复习专题02二次函数中的参数与恒成立问题特色训练
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二、二次函数中的参数与恒成立问题一、选择题1.【2022届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.m>B.0<m<1C.m>0D.m>1【答案】CD. ∵m>1⇒m>14,所以m>1是“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充分不必要条件,故D错误;故选C;2.函数f(x)=ax2+ax-1在R上恒满足f(x)<0,则a的取值范围是( )A.a≤0B.a<-4C.-4<a<0D.-4<a≤0【答案】D【解析】当a=0时,f(x)=-1在R上恒有f(x)<0;当a≠0时,∵f(x)在R上恒有f(x)<0,∴,∴-4<a<0.综上可知:-4<a≤0.3.设二次函数f(x)=ax2﹣4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则的最小值为()A.3B.C.5D.7【答案】A【解析】由题意知,a>0,△=1﹣4ac=0,∴ac=4,c>0,-13-\n则则≥2×=3,当且仅当时取等号,则的最小值是3.故选A.4.【2022届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数,若对,均有,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】A5.已知函数对一切恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】原不等式等价于:,结合恒成立的条件可得:由对勾函数的性质可知函数在定义域内单调递减,则函数的最小值为:,据此可得:实数的取值范围为.本题选择D选项.6.【2022届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在上递减的函数,且对任意的,总有,则实数-13-\n的取值范围为()A.B.C.D.【答案】B7.【2022届湖北省七市(州)高三3月联考】已知函数,且f(a2-4)=f(2a-8),则的最小值为()A.374B.358C.D.274【答案】A【解析】因函数y=f(x)的对称轴为x=-a+82,故由题意可得a2-4+2a-82=-a+82,即a2+2a-12+a+8=0,也即a2+3a-4=0,解之得a=-4或a=1(舍去),则f(x)=x2+4x。记g(n)=f(n)-4an+1=n2+4n+16n+1,令t=n+1⇒n=t-1,故g(t)=(t-1)2+4t-4+16t=t2+2t+13t=t+13t+2(t≥2,t∈N*),又t+13t≥213(当且仅当t=13取等号),由于t∈N*,则t=3或t=4取最小值,容易算得g(3)=3+133+2=273=913,g(4)=4+134+2=374=914,由于g(4)<g(3),故应选答案A。点睛:本题是一道较为困难的试题,求解时充分借助题设中所提供的条件,依据函数图像的对称性建立含参数a的方程a2-4+2a-82=-a+82,求得a=-4,进而确定函数的解析式f(x)=x2+4x;然后再考虑函数g(n)=f(n)-4an+1=n2+4n+16n+1的最小值的求解方法,求解时先运用基本不等式探求整数t的取值可能为t=3或t=4,进而通过求出函数值g(4)<g(3)进行比较,从而求得最小值使得问题获解.8.【2022届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数a,b定义运算“⊗”:a⊗b=b,a-b≥1a,a-b<1,设fx=(x2-1)⊗(4+x),若函数y=fx+k恰有三个零点,则实数k的取值范围是()A.(-2,1)B.[0,1]C.[-2,0)D.[-2,1)-13-\n【答案】D【解析】由题意可得f(x)=x+4,x∈(-∞,-2]∪[3,+∞)x2-1,x∈(-2,3),画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知,-1<-k≤2,-2≤k<1,选D.9.【2022届浙江省台州市高三4月调研】已知θ∈[0,π),若对任意的x∈[-1,0],不等式x2cosθ+(x+1)2sinθ+x2+x>0恒成立,则实数θ的取值范围是()A.(π12,5π12)B.(π6,π4)C.(π4,3π4)D.(π6,5π6)【答案】A10.【2022届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数f(x),其导函数为f,(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf,(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为( )A.xx≠±1B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)C.(﹣1,1)D.(﹣1,0)∪(0,1)【答案】B-13-\n由x2f(x)﹣f(1)<x2﹣1∴x2f(x)﹣x2<f(1)﹣1即g(x)<g(1)即x>1;当x<0时,函数是偶函数,同理得:x<﹣1综上可知:实数x的取值范围为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),故选:B.11.【2022届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知,不等式对于一切实数恒成立,又存在,使成立,则的最小值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由不等式对于一切实数恒成立,得,由存在,使成立,得,所以,且,=,令,,当,解得,代入,选B.12.【2022届江西省高三4月联考】已知函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围为()A.B.C.D.-13-\n【答案】B【解析】易知函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以函数在处取得最大值,所以有,解得,故选B.二、填空题13.已知函数f(x)=x,x>0x2-4x,x≤0,若f(x)≥ax-1恒成立,则实数a的取值范围是_____.【答案】-6,014.【2022届上海市普陀区高三二模】设,若不等式对于任意的恒成立,则的取值范围是 .【答案】【解析】因为不等式对于任意的恒成立,所以不等式对于任意的恒成立,令,即对于任意的恒成立,因为,所以,则,即,解得或(舍);故答案为.【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数恒成立(可)或恒成立(即可);②数形结合(图象在上方即可);③讨论最值或恒成立;④讨论参数.本题是利用方法③求得的最大值.15.【2022届河南省南阳市第一中学高三8月测试】若正实数满足-13-\n,且不等式恒成立,则实数的取值范围是.【答案】16.已知二次函数,满足,且,若在区间上,不等式恒成立,则实数m的取值范围为.【答案】【解析】由可知,那么,所以由,化简整理得:,所以有,,所以二次函数的解析式为:.由已知得在区间上,不等式恒成立,即恒成立,只要即可.又,对称轴是,开口向上,所以函数在区间是单调递减的,所以函数在区间上的最小值是:,所以.三、解答题17.设函数.(1)当时,记函数在[0,4]上的最大值为,求的最小值;(2)存在实数,使得当时,恒成立,求的最大值及此时的值.【答案】(1);(2)【解析】-13-\n试题分析:(1)当,,对称轴为.所以的最大值,即可得到的最小值.(2)显然..然后再对,和进行分类讨论,借助函数的单调性即可求出结果.(2)显然..①当时,只需满足由及,得,与矛盾.②当时,只需满足由,得,∴,与矛盾.③当时,只需满足由①,②得.由②,③得,又,∴,即,再结合②得,④∴.当时,由④得,此时满足①,②,③及.综上所述,的最大值为,此时.-13-\n18.【2022届西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数(,).(1)若函数的最小值为,求的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,在区间上恒成立,试求的取值范围.【答案】(1),单调递减区间为,单调递增区间为;(2)的取值范围为.试题解析:(1)由题意得,,且,∴,,∴,单调递减区间为,单调递增区间为.(2)在区间上恒成立,转化为在区间上恒成立.设,,则在上递减,∴,∴,即的取值范围为.19.【2022届重庆市第一中学高三9月月考】已知二次函数满足以下要求:①函数的值域为;②对恒成立.(1)求函数的解析式;(2)设,求时的值域.-13-\n【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值,因此二次函数解析式可配方为顶点式,从而列出关于的方程组,从而解得,得解析式;(2)是分式函数,由于分母是一次的,分母是二次的,可用换元法设,转化后易得函数的单调性,从而得值域.试题解析:(2)令,则所求值域为.20.【2022届浙江省温州中学高三3月模拟】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)-13-\n,对任意实数x,不等式2x≤f(x)≤12(x+1)2恒成立,(Ⅰ)求f(-1)的取值范围;(Ⅱ)对任意x1,x2∈[-3,-1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤1,求实数a的取值范围.【答案】(Ⅰ)(-2,0];(Ⅱ)14≤a≤9+1732.【解析】【试题分析】(1)依据题设条件,借助不等式恒成立建立函数分析探求;(2)借助题设条件运用分类整合思想分析探求:(Ⅰ)由题意可知f(1)≥2,f(1)≤2∴f(1)=2,∴a+b+c=2,∵对任意实数x都有f(x)≥2x,即ax2+(b-2)x+c≥0恒成立,∴{a>0(b-4ac≤0,由a+b+c=2,∴a=c,b=2-2a此时f(x)-12(x+1)2=(a-12)(x-1)2,∵对任意实数x都有f(x)≤12(x+1)2成立,∴0<a≤12,∴f(-1)=a-b+c=4a-2的取值范围是(-2,0].(Ⅱ)对任意x1,x2∈[-3,-1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1等价于在[-3,-1]上的最大值与最小值之差M≤1,由(ⅱ)当-3<x0≤-2,即14<a≤13时,M=f(-1)-f(x0)=4a+1a-4≤1恒成立.(ⅲ)当x0≤-3,即0<a≤14时,M=f(-1)-f(-3)=4-12a≤1⇒a=14.综上可知,14≤a≤9+1732.21.【2022届浙江省温州中学高三3月模拟】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=g(x)x.-13-\n(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(Ⅰ){a=1b=0;(Ⅱ)(-∞ ,0].【解析】【试题分析】(1)依据题设条件建立方程组求解;(2)将不等式进行等价转化,然后分离参数,再借助导数知识分析求解:(Ⅰ)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故{g(2)=1g(3)=4,解得{a=1b=0.22.【2022届山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数(1)求函数的解析式;(2)求函数在区间上的最小值;(3)若不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】试题分析:(1);(2)分三种情况讨论,,,分别根据函数的单调性求得最小值,即可得到求函数在区间上的最小值分段函数的解析式;(3)为偶函数,在单调递减,在单调递增可得-13-\n),解不等式即可的结果.试题解析:(1).(2),为偶函数,,故函数在单调递减,在单调递增,①当,即时,在区间单调递减,.②当时,在区间单调递增,.(3)为偶函数,在单调递减,在单调递增.,所以不等式的解集为.-13-
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