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全国通用2022高考数学二轮复习专题一第5讲导数与不等式的证明存在性及恒成立问题训练文

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第5讲 导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题一、选择题1.(2022·安徽卷)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  )A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0解析 由已知f(0)=d>0,可排除D;其导函数f′(x)=3ax2+2bx+c且f′(0)=c>0,可排除B;又f′(x)=0有两不等实根,且x1x2=>0,所以a>0,故选A.答案 A2.已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是(  )A.B.C.(-∞,2]D.(-∞,2)解析 f′(x)=x2-4x,由f′(x)>0,得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,∴当x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4).∴要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解之得m≥.答案 A3.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(  )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)解析 ∵2x(x-a)<1,∴a>x-.令f(x)=x-,6\n∴f′(x)=1+2-xln2>0.∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=0-1=-1,∴a的取值范围为(-1,+∞),故选D.答案 D4.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是(  )A.[-5,-3]B.C.[-6,-2]D.[-4,-3]解析 当x∈(0,1]时,得a≥-3-4+,令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)·(9t-1),显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].答案 C5.(2022·长沙模拟)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意的0<a<b,则必有(  )A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)解析 因为xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0,所以′=≤≤0,则函数在(0,+∞)上单调递减.由于0<a<b,则≥,即af(b)≤bf(a).答案 A二、填空题6.(2022·合肥模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.6\n解析 若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.令g(x)=-,则g′(x)=,所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.因此g(x)max=g=4,从而a≥4.当x<0时,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.g(x)在区间[-1,0)上单调递增,所以g(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上可知a=4.答案 47.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.解析 作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,则有即解得-<m<0.答案 8.(2022·青岛模拟)已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是________.解析 由于f′(x)=1+>0,因此函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,又函数h(x)=+在x∈[1,2]上单调递减,所以h(x)min=h(2)=6\n,故只需a≥.答案 三、解答题9.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=-1时,证明:当x∈(1,+∞)时,f(x)+2>0;(1)解 根据题意知,f′(x)=(x>0),当a>0时,则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞);当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);当a=0时,f(x)=-3,不是单调函数,无单调区间.(2)证明 当a=-1时,f(x)=-lnx+x-3,所以f(1)=-2,由(1)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).即f(x)>-2,所以f(x)+2>0.10.(2022·唐山期末)已知函数f(x)=aex+x2,g(x)=sin+bx,直线l与曲线y=f(x)切于点(0,f(0)),且与曲线y=g(x)切于点(1,g(1)).(1)求a,b的值和直线l的方程;(2)证明:f(x)>g(x).(1)解 f′(x)=aex+2x,g′(x)=cosx+b,f(0)=a,f′(0)=a,g(1)=1+b,g′(1)=b.曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=ax+a,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线为:y=b(x-1)+1+b,即y=bx+1,依题意有a=b=1,直线l的方程为y=x+1,(2)证明 由(1)知f(x)=ex+x2,g(x)=sinx+x,设F(x)=f(x)-(x+1)=ex+x2-x-1,6\n则F′(x)=ex+2x-1,当x∈(-∞,0)时,F′(x)<F′(0)=0,当x∈(0,+∞)时,F′(x)>F′(0)=0.F(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故F(x)≥F(0)=0,设G(x)=x+1-g(x)=1-sinx,则G(x)≥0,当且仅当x=4k+1(k∈Z)时等号成立,由上可知,f(x)≥x+1≥g(x),且两个等号不同时成立,因此f(x)>g(x).11.(2022·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)>1.(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=aexlnx+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2,f′(1)=e.故a=1,b=2.(2)证明 由(1)知,f(x)=exlnx+ex-1,从而f(x)>1等价于xlnx>xe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx.所以当x∈时,g′(x)<0;当x∈时,g′(x)>0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h′(x)=e-x(1-x).所以当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0.6\n故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.6

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发布时间:2022-08-25 23:52:30 页数:6
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文章作者:U-336598

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