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全国通用2022高考数学二轮复习专题四第2讲空间中的平行与垂直的证明问题训练文
全国通用2022高考数学二轮复习专题四第2讲空间中的平行与垂直的证明问题训练文
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第2讲 空间中的平行与垂直的证明问题一、选择题1.(2022·长沙模拟)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析 法一 若m∥α,n∥α,则m、n可能平行、相交或异面,A错;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,C错;若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能n⊂α,D错.法二 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错.B项中,m⊥α,n⊂α,满足m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.C项中,若m为AA′,n为AB,满足m⊥α,m⊥n,但n⊂α,故C错.D项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.答案 B2.(2022·浙江卷)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β( )A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m解析 对于面面垂直的判定,主要是两个条件,即l⊂α,l⊥β,如果这两个条件存在,则α⊥β.答案 A3.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C,若l4=DC1,也满足条件,可以排除选项B.故选D.6\n答案 D4.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论错误的是( )A.BD∥平面CB1D1 B.A1C⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1 D.AC1⊥BD1解析 因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以DD1∥BB1且DD1=BB1,所以四边形DD1B1B为平行四边形,所以BD∥B1D1,因为BD⊄面CB1D1,B1D1⊂面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,故A正确;因为AA1⊥面ABCD,BD⊂面ABCD,所以AA1⊥BD,因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD,因为AC∩AA1=A,所以BD⊥面A1ACC1,因为A1C⊂面A1ACC1,所以BD⊥A1C,故B正确.同理可证得B1D1⊥面A1ACC1,因为AC1⊂面A1ACC1,所以B1D1⊥AC1,同理可证CB1⊥AC1,因为B1D1∩CB1=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故C正确,排除法应选D.答案 D5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是( )A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC解析 ∵在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,6\n∴BD⊥CD,又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,则CD⊥AB,又AD⊥AB,AD∩CD=D,所以AB⊥平面ADC,又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC,故选D.答案 D二、填空题6.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.则正确结论的序号是__________.解析 把正方体的平面展开图还原成正方体,如图所示,则AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案 ①③7.如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题:①PA∥平面MOB;②MO∥平面PAC;③OC⊥平面PAC;④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号).解析 ①错误,PA⊂平面MOB;②正确;③错误,否则,有OC⊥AC,这与BC⊥AC矛盾;④正确,因为BC⊥平面PAC.答案 ②④8.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AC∩EF=G,现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体,使B、C、D三点重合,重合后的点记为P,则在四面体P-AEF中必有________.①AP⊥△PEF所在平面;②AG⊥△PEF所在平面;③EP⊥△AEF所在平面;④PG⊥△AEF所在平面.解析 在折叠过程中,AB⊥BE,AD⊥DF保持不变.6\n∴⇒AP⊥面PEF.答案 ①三、解答题9.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:(1)AF∥平面BCE;(2)平面BCE⊥平面CDE.证明 (1)如图,取CE的中点G,连接FG,BG.∵F为CD的中点,∴GF∥DE且GF=DE.∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥DE,∴GF∥AB.又AB=DE,∴GF=AB.∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG.∵AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE,∴AF∥平面BCE.(2)∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点,∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD,∴DE⊥AF.又CD∩DE=D,∴AF⊥平面CDE.∵BG∥AF,6\n∴BG⊥平面CDE.∵BG⊂平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE.10.(2022·秦皇岛模拟)如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;(2)设M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.(1)证明 ∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∵AE⊂平面ABE,∴AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴AE⊥BF.∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.(2)解 在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点,在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点,连接MN,则由比例关系易得CN=CE.∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,∴MG∥平面ADE.同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G,∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.11.(2022·四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.6\n(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并证明你的结论.(3)证明:直线DF⊥平面BEG.(1)解 点F,G,H的位置如图所示.(2)解 平面BEG∥平面ACH,证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是BCHE为平行四边形,所以BE∥CH,又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH,同理BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明 连接FH,BD,因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG,又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD,又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG,同理DF⊥BG,又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.6
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:52:21
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文章作者:U-336598
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