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全国通用2022高考数学二轮复习专题四第1讲空间几何体中的计算问题训练文
全国通用2022高考数学二轮复习专题四第1讲空间几何体中的计算问题训练文
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第1讲 空间几何体中的计算问题一、选择题1.(2022·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+2πB.C.D.解析 该几何体由一个圆柱和一个半圆锥组成,其体积为V=π×12×2+×π×12×1=2π+=π.答案 B2.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2解析 该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为6cm,4cm,3cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为3cm,4cm,5cm,所以表面积6\nS=(2×4×6+2×3×4+3×6+3×3)+=138(cm2),故选D.答案 D3.(2022·福建卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱.S表=2×(1+2)×1+2×1+2×1+2×2+2×=11+2,故选B.答案 B4.(2022·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( )A.1B.2C.4D.8解析 由题意知,设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成,∴2r·2r+2πr2+πr2+πr2+·4πr2=4r2+5πr2=16+20π,∴r=2.答案 B5.三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为( )A.π B.π6\nC.3π D.12π解析 如图,因为AB⊥BC,所以AC是△ABC所在截面圆的直径,又因为SA⊥平面ABC,所以△SAC所在的截面圆是球的大圆,所以SC是球的一条直径.由题设SA=AB=BC=1,由勾股定理可求得:AC=,SC=,所以球的半径R=,所以球的表面积为4π×=3π.答案 C二、填空题6.(2022·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.解析 由题意可得,几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角,角的相邻三条棱长分别是1,2,2,所以几何体的体积为8-=.答案 7.(2022·四川卷)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是________.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱,三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形,高为1的直三棱柱,∵VP-A1MN=VA1-PMN,又∵AA1∥平面PMN,∴VA1-PMN=VA-PMN,6\n∴VA-PMN=××1××=,故VP-A1MN=.答案 8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.VD1-EDF=VF-DD1E=S△D1DE·AB=××1×1×1=.另解(特殊点法):让E点和A点重合,点F与点C重合,则VD1-EDF=×S△ACD×D1D=××1×1×1=.答案 三、解答题9.(2022·全国Ⅱ卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解 (1)交线围成的正方形EHGF.如图:(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.故=×(4+10)×8=56,S四边形EB1BH=×(12+6)×8=72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确).6\n10.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?解 (1)作圆锥的轴截面,如图所示.因为=,所以r=R-x,所以S圆柱侧=2πrx=2πRx-x2(0<x<H).(2)因为-<0,所以当x==时,S圆柱侧最大.故当x=,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大.11.(2022·全国Ⅰ卷)如图,四边形ABCD为菱形,G是AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.(1)证明 因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解 设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.6\n由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=×AC·GD·BE=x3=.故x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.6
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所属:
高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:52:21
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文章作者:U-336598
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