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浙江专用2022高考数学二轮复习专题4.2空间中的平行与垂直精练理
浙江专用2022高考数学二轮复习专题4.2空间中的平行与垂直精练理
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第2讲 空间中的平行与垂直(建议用时:60分钟)一、选择题1.在下列命题中,不是公理的是( ).A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析 选项A是面面平行的性质定理.答案 A2.(2022·辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ).A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析 法一 若m∥α,n∥α,则m,n可能平行、相交或异面,A错;若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直线,B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,C错;若m∥α,m⊥n,则n与α可能相交,可能平行,也可能n⊂α,D错;法二 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,用平面ABCD表示α.A项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,n∥α,但m与n是相交直线,故A错.B项中,m⊥α,n⊂α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故B正确.C项中,若m为AA′,n为AB,满足m⊥α,m⊥n,但n⊂α,故C错.D项中,若m为A′B′,n为B′C′,满足m∥α,m⊥n,但n∥α,故D错.10\n答案 B3.(2022·丽水模拟)已知两条直线a,b与两个平面α,β,b⊥α,则下列命题中正确的是( ).①若a∥α,则a⊥b;②若a⊥b,则a∥α;③若b⊥β,则α∥β;④若α⊥β,则b∥β.A.①③B.②④C.①④D.②③解析 过直线a作平面γ使α∩γ=c,则a∥c,再根据b⊥α可得b⊥c,从而b⊥a,命题①是真命题;下面考虑命题③,由b⊥α,b⊥β,可得α∥β,命题③为真命题.故正确选项为A.答案 A4.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( ).A.α⊥β,且m⊂αB.m∥n,且n⊥βC.α⊥β,且m∥αD.m⊥n,且n∥β解析 根据定理、性质、结论逐个判断.因为α⊥β,m⊂α⇒可能平行、相交、m在β面内,故A错误;由线面垂直的性质定理可知B正确;若α⊥β,m∥α,则m,β的位置关系也不确定,故C错误;若m⊥n,n∥β,则m,β的位置关系也不确定,故D错误.答案 B5.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,给出下列四个命题:①若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n;②若m∥α,n⊥β,且α⊥β,则m∥n;③若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n;④若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n.其中正确的个数有( ).A.1B.2C.3D.4解析 ①中m,n可能异面或相交,故不正确;②因为m∥α,n⊥β且α⊥β成立时,m,n两直线的关系可能是相交、平行、异面,故不正确;③因为m⊥α,α∥β可得出m⊥β,再由n∥β可得出m⊥n,故正确;④分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直,正确.故选B.答案 B6.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则10\n( ).A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l解析 假设α∥β,由m⊥平面α,n⊥平面β,则m∥n,这与已知m,n为异面直线矛盾,那么α与β相交,设交线为l1,则l1⊥m,l1⊥n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面,所以l1∥l.答案 D7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在面ABC上的射影H必在( ).A.直线AB上 B.直线BC上C.直线AC上 D.△ABC的内部解析 ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上,故选A.答案 A二、填空题8.设α和β为两个不重合的平面,给出下列四个命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.其中为真命题的是________(写出所有真命题的序号).解析 由①知α内两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直线确定的平面α平行于平面β,故①为真命题;由线面平行的判定定理知,②为真命题;对于③,如图,α∩β=l,a⊂α,a⊥l,但不一定有α⊥β,故③为假命题;对于④,直线l与平面α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直,故④为假命题.10\n综上所述,真命题的序号为①②.答案 ①②9.(2022·金华调研)下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).解析 对于①,注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行,因此直线AB平行于平面MNP;对于②,注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交,因此直线AB与平面MNP相交;对于③,注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行,且直线AB位于平面MNP外,因此直线AB与平面MNP平行;对于④,易知此时AB与平面MNP相交.综上所述,能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是①③.答案 ①③10.(2022·浙江卷)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.解析 连接DN,作DN的中点O,连接MO,OC.在△AND中,M为AD的中点,则OM綉10\nAN.所以异面直线AN,CM所成角为∠CMO,在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,则AN=2,∴OM=.在△ACD中,同理可知CM=2,在△BCD中,DN=2,在Rt△ONC中,ON=,CN=1∴OC=.在△CMO中,由余弦定理cos∠CMO===.答案 11.(2022·陕西师大附中模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件________时,有MN∥平面B1BDD1.解析 如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1.且HN∩FH=H,∴面NHF∥面B1BDD1.∴当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.答案 M∈线段HF12.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK10\n=t,则t的取值范围是________.解析 如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,∵平面ABD⊥平面ABC,DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.又DG⊥AF,∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F运动到E点时,K为AB的中点,t=AK==1;当F运动到C点时,在Rt△ADF中,易得AF=,且AG=,GF=,又易知Rt△AGK∽Rt△ABF,则=,又AB=2,AK=t,则t=.∴t的取值范围是.答案 三、解答题13.(2022·山东卷)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.证明 (1)法一 :连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,10\nAB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则M为CD的中点,又H为BC的中点,所以HM∥BD,又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.法二 在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形HBEF为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.又因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连接HE,因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.14.如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,PA⊥底面ABCD,PA=DA,E,F分别是AB,PD的中点.(1)求证:PC⊥BD;(2)求证:AF∥平面PEC;(3)在线段BC上是否存在一点M,使AF⊥平面PDM?若存在,指出点M的位置;若不存在,说明理由.10\n解 (1)连接AC,则AC⊥BD.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD.又AC与PA相交于点A,∴BD⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.(2)取PC的中点K,连接FK,EK,则四边形AEKF是平行四边形,∴AF∥EK,∵EK⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,∴AF∥平面PEC.(3)当M是BC的中点时,可使AF⊥平面PDM,证明如下:∵PA=DA,F是PD的中点,∴AF⊥PD.∵在菱形ABCD中,∠DAB=60°,∴△BCD为等边三角形,∴DM⊥BC.又AD∥BC,∴DM⊥AD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥DM,∴DM⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,∴DM⊥AF,又PD∩DM=D,∴AF⊥平面PDM.15.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.10\n(1)证明:EF∥平面PAB;(2)若二面角P-AD-B为60°,①证明:平面PBC⊥平面ABCD;②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明 如图,取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点,故MF∥BC且MF=BC.由已知有BC∥AD,BC=AD.又由于E为AD中点,因而MF∥AE且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)①证明 连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点,故PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.10\n在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°,由余弦定理,可解得PB=,从而∠PBE=90°,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,从而BE⊥BC,因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,所以,平面PBC⊥平面ABCD.②解 连接BF.由①知,BE⊥平面PBC,所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角.由PB=及已知,得∠ABP为直角.而MB=PB=,可得AM=.故EF=.又BE=1,故在直角三角形EBF中,sin∠EFB==.所以,直线EF与平面PBC所成角的正弦值为.10
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高考 - 二轮专题
发布时间:2022-08-25 23:15:10
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