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浙江专用2022高考数学二轮复习专题1.2函数与方程及函数的应用精练理

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第2讲 函数与方程及函数的应用(建议用时:60分钟)一、选择题1.“a>3”是“函数f(x)=ax+3在(-1,2)上存在零点”的(  ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由于“函数f(x)=ax+3在(-1,2)上存在零点”⇔f(-1)f(2)<0⇔(-a+3)(2a+3)<0⇔a<-或a>3,则“a>3”是“函数f(x)=ax+3在(-1,2)上存在零点”的充分不必要条件.答案 A2.函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为(  ).A.3B.2C.1D.0解析 由已知g(x)=(x-2)2+1,所以其顶点为(2,1),又f(2)=2ln2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f(x)=2lnx图象的下方,故函数f(x)=2lnx的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象有2个交点.答案 B3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  ).A.,0B.-2,0C.D.0解析 当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0,故选D.答案 D4.(2022·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是(  ).7\nA.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油解析 汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A显然不对;B应是甲车耗油最少;C甲车以80千米/时的速度行驶10km,消耗1升汽油,故D正确.答案 D5.设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)(  ).A.在区间,(1,e)内均有零点B.在区间,(1,e)内均无零点C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点解析 法一 因为f=·-ln=+1>0,f(1)=-ln1=>0,f(e)=-lne=-1<0,∴f·f(1)>0,f(1)·f(e)<0,故y=f(x)在区间内无零点(f(x)在内根据其导函数判断可知单调递减),在区间(1,e)内有零点.法二 在同一坐标系中分别画出y=x与y=lnx的图象,如图所示.7\n由图象知零点存在区间(1,e)内.答案 D6.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(  ).A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内解析 由于a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.因此有f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,又因f(x)是关于x的二次函数,函数的图象是连续不断的曲线,因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故选A.答案 A7.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]时f(x)=1-x2.函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,4]内的零点的个数为(  ).A.7B.8C.9D.10解析 由f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,求h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,4]内的零点,即求f(x)=g(x)在区间[-5,4]上图象交点的个数.画出函数f(x)与g(x)的图象,如图,由图可知两图象在[-5,4]之间有7个交点,所以所求函数有7个零点,选A.答案 A二、填空题8.一块形状为直角三角形的铁皮,两直角边长分别为40cm、60cm7\n,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是________cm2.解析 设直角边为40cm和60cm上的矩形边长分别为xcm、ycm,则=,解得y=60-x.矩形的面积S=xy=x=-(x-20)2+600,当x=20时矩形的面积最大,此时S=600.答案 6009.已知[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.8]=1,[-1.2]=-2.x0是函数f(x)=lnx-的零点,则[x0]=________.解析 函数f(x)的定义域为(0,+∞),且易判断函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(2)=ln2-1<0,f(e)=lne->0,知x0∈(2,e),∴[x0]=2.答案 210.(2022·四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.解析 由题意∴e22k==,∴e11k=,∴x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=3·eb=×192=24.答案 2411.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是________.解析 当x≤0时,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f(x)|≥ax,化简为x2-2x≥ax,即x2≥(a+2)x,因为x≤0,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2;当x>0时,f(x)=ln(x+1)>0,所以|f(x)|≥ax化简为ln(x+1)>ax恒成立,由函数图象可知a≤0,综上,当-2≤a≤0时,不等式|f(x)|≥ax恒成立,故填[-2,0].答案 [-2,0]12.(2022·北京卷)设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为________;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是________.解析 (1)当a=1时,f(x)=7\n当x<1时,2x-1>-1∈(-1,1),当x≥1时,f(x)=4(x2-3x+2)=4≥-1,∴f(x)最小值为-1.(2)由于f(x)恰有2个零点,分两种情况讨论:当f(x)=2x-a,x<1没有零点时,a≥2或a≤0.当a≥2时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时,有2个零点;当a≤0时,f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1时无零点.因此a≥2满足题意.当f(x)=2x-a,x<1有一个零点时,0<a<2.f(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1有一个零点,此时a<1,2a≥1,因此≤a<1.综上知实数a的取值范围是.答案 (1)-1 (2)∪[2,+∞)三、解答题13.(2022·湖州模拟)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意b∈R,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.解 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.∴函数f(x)的零点为3和-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根.∴b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)<0⇒a2-a<0,所以0<a<1.因此实数a的取值范围是(0,1).14.(2022·浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;7\n(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解 (1)当b=+1时,f(x)=2+1,故对称轴为直线x=-.当a≤-2时,g(a)=f(1)=+a+2.当-2<a≤2时,g(a)=f=1.当a>2时,g(a)=f(-1)=-a+2.综上,g(a)=(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则由于0≤b-2a≤1,因此≤s≤(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,≤st≤,由于-≤≤0和-≤≤9-4,所以-≤b≤9-4.当-1≤t<0时,≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-4].15.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450(万元).每件商品售价为0.05万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;7\n(2)年产量为多少千件时,该厂在这种商品的生产中所获利润最大?解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250.当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x-+1450-250=1200-.所以L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950(万元).当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000.此时,当x=,即x=100时,L(x)取得最大值1000万元.因为950<1000,所以,当年产量为100千件时,该厂在这种商品的生产中所获利润最大,最大利润为1000万元.7

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发布时间:2022-08-25 23:15:12 页数:7
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文章作者:U-336598

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